Enunciado

Dada a função w = x 2 + y 2 + z 2 , determinar sua derivada direcional no ponto P 1 ,   1 ,   2 , na direção da normal exterior à superfície z 2 = x 2 + y 2 em P .

Passo 1

Pra calcular a derivada direcional do campo, a primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o gradiente desse campo. Bom, isso a gente sabe fazer, né? Se a nossa função for f → , o gradiente vai ser dado por:

g r a d   f → = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Aqui a gente não tem f , mas tem o w , que também é uma função, igualzinho ao f hahah Pra facilitar, vamos até dizer que w = f → e resolver com essa letra.

g r a d   w = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Passo 2

Bora lá! A função é:

f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2

Calculando as derivadas parciais, sem esquecer da regra da cadeia:

∂ f ∂ x = 2 x

∂ f ∂ y = 2 y

∂ f ∂ z = 2 z

Assim,

∇ f → = 2 x   i → + 2 y   j → + 2 z   k →

E nesse ponto P ( 1 ,   1 ,   2 ) :

∇ f → = 2   i → + 2   j → + 2 2   k →

Passo 3

Para acharmos o vetor normal à superfície z 2 = x 2 + y 2 , vamos escrever uma função g → = x 2 + y 2 - z 2 . Obtendo o gradiente dela, encontramos o vetor normal à superfície! Então vamos fazer isso.

∂ g ∂ x = 2 x

∂ g ∂ y = 2 y

∂ g ∂ z = - 2 z

E o valor máximo da derivada direcional vai ser igual ao módulo do gradiente! Vamos substituir o ponto P 0 na expressão:

∇ g → P 0 = ∇ g → 1 ,   1 , 2 = 2 i → + 2 j → - 2 2 k →

A gente precisa do vetor unitário na direção dessa superfície. Pra isso, dividimos o gradiente pelo seu módulo.

∇ g → P 0 = 2 2 + 2 2 + - 2 2 2 = 4

Então o unitário é:

u → = ∇ g → P 0 ∇ g → P 0 = 1 4 2 i → + 2 j → - 2 2 k → = 1 2 i → + 1 2 j → - 2 2 k →

Passo 4

E o valor da derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente da função w (ou f , pros mais íntimos) e esse unitário que encontramos.

∇ f → × u → = 2   i → + 2   j → + 2 2   k → ⋅ 1 2 i → + 1 2 j → - 2 2 k →

Calculando,

∇ f → × u → = 2 × 1 2 + 2 × 1 2 - 2 2 × 2 2

Desenvolvendo,

∇ f → × u → = 0

Resposta

0

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