Enunciado

Determinar uma equação vetorial para a reta normal à superfície dada, nos pontos indicados:

x 2 4 + y 2 + z 2 9 = 1 ; P 0 0 , 1 2 , 3 3 2

Passo 1

Para acharmos uma equação vetorial para a reta normal à superfície vamos começar encontrando a expressão para o gradiente da curva, pois ele é normal a superfície no ponto dado.

x 2 4 + y 2 + z 2 9 = 1

Passando o 1 para o lado direito:

x 2 4 + y 2 + z 2 9 - 1 = 0

Então a função f x , y , z   fica o seguinte:

f x , y , z = x 2 4 + y 2 + z 2 9 - 1

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos encontrar o seguinte:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Substituindo:

∇ f x , y , z = ∂ x 2 4 + y 2 + z 2 9 - 1 ∂ x i → + ∂ x 2 4 + y 2 + z 2 9 - 1 ∂ y j → + ∂ x 2 4 + y 2 + z 2 9 - 1 ∂ z k →

Derivando parcialmente, temos:

∇ f x , y , z = x 2 i → + 2 y   j → + 2 z 9 k →

Passo 3

No ponto 0 , 1 2 , 3 3 2 :

∇ f 0 , 1 2 , 3 3 2 = 0 2 i → + 2 × 1 2   j → + 2 9 × 3 3 2 k →

Simplificando,

∇ f 0 , 1 2 , 3 3 2 = 0 i → + 1   j → + 3 3 k →

Passo 4

Para finalizarmos, vamos encontrar a equação da reta normal. Vem comigo!

r :   0 , 1 2 , 3 3 2 + t   ∇ f 0 , 1 2 , 3 3 2

Isto é,

r : 0 i → + 1 2 j → + 3 3 2 k → + t 0 i → + 1   j → + 3 3 k →

Então a equação vetorial da reta normal fica o seguinte:

r :   1 2 + t   j → + 3 3 2 + 3 3 t k →

Resposta

No ponto 0 , 1 2 , 3 3 2 :

r :   1 2 + t   j → + 3 3 2 + 3 3 t k →

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