Enunciado

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Dada a função f definida por

f x = g x ,             s e     a ≤ x < b h x ,               s e   b ≤ x ≤ c

Se g for contínua em [ a ,   b ) e h for contínua em [ b ,   c ] , podemos concluir que f é contínua em [ a ,   c ] ? Se sua resposta for sim, prove-a. Se sua resposta for não, que condição ou condições adicionais assegurariam a continuidade de f em [ a ,   c ] ?

Passo 1

O exercício fornece uma função f dada que vale g no intervalo [ a ,   b ) e vale h no intervalo [ b ,   c ] , em que h e g são funções contínuas nos seus respectivos intervalos. A pergunta feita é se essas condições são suficientes para garantir que f é contínua.

Para responder essa pergunta você deve lembrar qual o principal teste que você faz para testar que uma função definida por partes é contínua. Qual o ponto que você olha com carinho? O PONTO DE “COLAGEM”! Neste caso, o ponto de colagem é x = b .

Além de g e h serem contínuas, elas têm que tender para o mesmo valor quando x → b para que f seja contínua.

Passo 2

Por exemplo, tomando g x = 1 , h x = 2 , a = 0 , b = 2 , c = 4 , temos que

f x = 1 ,             s e   0 ≤ x < 2 2 ,             s e   2 ≤ x ≤ 4

O gráfico de f será

Mesmo com g e h contínuas, f não é! Portanto, a resposta para a pergunta do problema é não!

Passo 3

A condição adicional que deve ser satisfeita para que f seja contínua é que tanto g quanto h devem tender ao mesmo valor quando x → b , isto é,

lim x → b - ⁡ g ( x ) = lim x → b + ⁡ h ( x )

Resposta

Não.

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