Seja f: [a, b] -> R uma função contínua e suponha que f não seja constante em [a, b] . Prove que existem números reais m e M , com m < M , tais que Im f = [m, M] .

(Observação: Imagem de f = Im f = {f(x) | x ∈ [a, b]} .)

Passo 1

Pelo teorema de Weierstrass, como a função é contínua em a , b , temos que existem x 1 e x 2 tal que:

f x 1 ≤ f x ≤ f x 2

E como f x não é constante, teremos f x 1 < f x 2 , assim, o conjunto da imagem de f será Im ⁡ f = f x 1 , f x 2

Assim, tomamos f x 1 = m e f x 2 = M , de modo que se f x 1 < f x 2 temos m < M e também, se Im ⁡ f = f x 1 , f x 2 temos Im ⁡ f = m , M .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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