Enunciado

Prove que cada um dos conjuntos abaixo admite máximo e mínimo.

a) A = x 1 + x 2 | - 2 ≤ x ≤ 2

b) A = x 2 + x 1 + x 2 | - 1 ≤ x ≤ 1

Passo 1

  1. No intervalo - 2,2 , a função f x = x 1 + x 2 é contínua. Note que o denominador nunca será zero, ou seja, ela existe em todos os pontos desse intervalo.
  2. Então, pelo teorema de Weierstrass existem, obrigatoriamente x 1 e x 2 tais que:

    f x 1 ≤ f x ≤ f x 2

    Então, f x 1 é o valor mínimo, e f x 2 é o valor máximo do conjunto.

    Passo 2

  3. Podemos seguir o mesmo raciocínio do item (a).

No intervalo - 1,1 , a função f x = x 1 + x 2 também será contínua.

Então, pelo teorema de Weierstrass existem, obrigatoriamente x 1 e x 2 tais que:

f x 1 ≤ f x ≤ f x 2

Então, f x 1 é o valor mínimo, e f x 2 é o valor máximo do conjunto.

É isso mesmo, pessoal, basicamente o que teríamos que ver nessa questão era se a função é continua neste intervalo!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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São dadas uma função f e um intervalo fechado a ,b . Determine se o teorema do valor intermediário se aplica para o valor de k dado. Se o teorema for aplicável, ache um número c tal que f c = k . Caso
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Determine se o teorema do valor intermediário se aplica para k = 1 , a , b = [ 0,3 ] f x = 2 + x - x 2 Caso seja aplicável, encontre C tal que f C = k . Se não for, explique o por que. Faça um esboço