Enunciado

Suponha que f seja uma função para a qual 0 ≤ f ( x ) ≤1 se 0 ≤ x ≤ 1. Prove que se f for contínua em [0, 1], existirá pelo menos um número c tal que f ( c ) = c . (Sugestão: se nem 0 e 1 servirem como c, então f (0) > 0 e f (1) g x = f x - x e aplique o teorema do valor intermediário a g em [0, 1].)

Passo 1

Pelos dados do enunciado poderíamos deduzir que f (0) = 0 e f (1) = 1, onde teríamos como resposta c = 0 e c = 1 para cada um das situações dadas, mas isso valeria somente se pudéssemos identificar como a função f é. Como nenhuma dessas respostas vale vamos usar da função   g x dada na sugestão.

Passo 2

Vamos identificar g(x) para x= 0 e x = 1, pois ele também está no intervalo [0, 1].

x = 0 g 0 = f 0 - c = 0

g 0 = f 0

Pelo enunciado f 0 > 0 e como g 0 = f 0 então g 0 > 0   também é verdade.

x = 1 g 1 = f 1 - 1

Pelo enunciado f 1 < 1   e se subtrairmos 1 dos dois lados dessa desigualdade temos uma nova desigualdade que é f(1) – 1 g 1 = f 1 - 1   então g 1 < 0 temos como verdade.

Passo 3

Podemos deduzir que no intervalo [0, 1] temos um valor de g x menor que 0 e outro maior que 0, assim pelo teorema do valor intermediário podemos identificar um valor de g x = 0

nesse intervalo.

Resposta

Por fim temos:

g c = 0

g c = f c - c

f c - c = 0

f c = c

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