Enunciado

Dada f x = x r - r x + k , onde r > 0 e r ≠ 1 , prove que

a ) se 0 < r < 1 , f tem valor máximo relativo em 1

b ) se r > 1 , f tem valor mínimo relativo em 1 .

Passo 1

A primeira coisa que teriamos que fazer é achar os pontos críticos. Mas ele quer a análise só em x = 1 , vamos mostrar primeiro que ele é um ponto crítico, ou seja, que sua derivada é 0 ou não existe em x = 1

f ' x = r x r - 1 - r

f ' 1 = r 1 r - 1 - 1 = r - r = 0

Opa, realmente é ponto crítico.

Passo 2

Para analisarmos os pontos temos que aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Temos

f ' ' x = r r - 1 x r - 2

Fazendo o valor dela em x = 1 :

f ' ' 1 = r r - 1 1 r - 2 = r r - 1

O sinal dessa derivada que determina tudo. Como r é maior que 0 , o seu sinal só depende de

r - 1

Então temos

r - 1 < 0 → f ' ' 1 < 0

r - 1 > 0 → f ' ' 1 > 0

Arrumando isso

r < 1 → f ' ' 1 < 0

r > 1 → f ' ' 1 > 0

Logo, temos exatamente os dois intervalos que ele deu.

Organizando isso:

r - 1 < 0 → f ' ' 1 < 0 → M á x i m o   r e l a t i v o   e m   x = 1

r - 1 > 0 → f ' ' 1 > M í n i m o   r e l a t i v o   e m   x = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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