Enunciado

Dada a parábola com equação y 2 + 8 x - 6 y = 7 , ache (a) o vértice, (b) a equação do eixo, (c) o foco e (d) a equação da diretriz. Faça um esboço da curva.

Passo 1

Bom, o enunciado nos pede o esboço da parábola com equação   y 2 + 8 x - 6 y = 7 , que será:

Vamos primeiro reescrever a equação, para que ela fique na forma geral da parábola:

y - k 2 = 4 p x - h

Separando x e y na nossa equação:

y 2 + 8 x - 6 y = 7

y 2 - 6 y = 7 - 8 x

Somando 9 dos dois lados:

y 2 - 6 y + 9 = 16 - 8 x

Completando quadrados e tirando fator comum:

( y - 3 ) 2 = - 8 ( x - 2 )

Passo 2

Como agora sabemos os valores do quanto a parábola foi transladada, podemos encontrar o vértice pedido na letra (a) comparando com a equação geral da parábola:

h = 2

k = 3

4 p = - 8 → p = - 2

E o vértice será: ( 2 ,   3 )

Passo 3

Na letra (b), o enunciado pede a equação do eixo, que será paralelo ao eixo x no caso da nossa parábola, logo, ele terá o valor de k, então:

y = 3

Que descreve uma reta vertical que passa pelo ponto 3.

Passo 4

A letra (c) nos pede o foco que nesse caso pode ser determinado por F ( h + p ,   k ) , pois será as coordenadas do vértice +p na coordenada y, Substituindo os valores q já calculamos, o foco ficará em:

F 0 , 3

Passo 5

E por final, a letra (d) pede a equação da diretriz, a equação da diretriz para a nossa parábola será:

x = h - p

Substituindo pelos valores que calculamos antes:

x = 2 - ( - 2 ) = 4

Resposta

a )     ( 2 ,   3 )

b )   y = 3

c ) F 0,3

d ) y = 4

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