Enunciado

24. Dada f x = 8 - x . (a) Prove que f é contínua à esquerda de 8. (b) Prove que f ´ - 8 não existe. (c) Faça um esboço do gráfico de f .

Letra (b)

Passo 1

Nesta letra ele nos pede para mostrar que a derivada à esquerda de f ( x ) em x 1 = 8 não existe.

A derivada à esquerda de f em x 1 , denotada por f - ( x 1 ) , será definda por

f - ' x 1 = lim x → x 1 - ⁡ f x - f ( x 1 ) x - x 1

Passo 2

A derivada à esquerda de f ( x ) em x 1 = 8 será :

f ' 8 - = lim x → 8 - ⁡ f x - f 8 x - 8

Substituindo f x = 8 - x e f 8 = 0 , temos:

lim x → 8 - ⁡ 8 - x - 0 x - 8

Simplificando a expressão:

= lim x → 8 - ⁡ - 1 8 - x = - ∞

Isso acontece porque para x se aproximando de 8 pela esquerda, x < 8 . Dessa forma, a raiz no denominador vai ser sempre positiva, 8 - x > 0 . Como denominador é um valor positivo, que se aproxima de 0 , a função se aproxima de - ∞ . Logo, f ' 8 - não existe:

f ' 8 - = ∄

Resposta

f ' 8 - = ∄

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