Enunciado

Dada f x = x 2 + r x - 1 , prove que, independente do valor de r , f tem um valor mínimo relativo, mas não tem valor máximo relativo.

Passo 1

A primeira coisa que teriamos que fazer é achar os pontos críticos, ou seja, que sua derivada é 0 ou não existe.

f ' x = 2 x - r x - 2

A derivada não vai existir em x = 0 por conta do expoente negativo. Mas a própria f x tem x - 1 , então x = 0 nem está no domínio da função. Então não pode ser ponto crítico.

Vamos igualar a 0 agora

2 x - r x - 2 = 0

2 x = r x - 2

Fazendo

x - 2 = 1 x 2

Vamos ter

2 x = r x 2

x 3 = r 2

x = r 2 3

Que é o nosso ponto crítico

Passo 2

Para analisarmos os pontos temos que aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Temos

f ' ' x = 2 + 2 r x - 3

Fazendo o valor dela em x = r 2 3 :

f ' ' r 2 3 = 2 + 2 r r 2 3 - 3 = 2 + 2 r r 2 - 1

f ' ' r 2 3 = 2 + 2 r 2 r = 2 + 4 = 6 > 0

Então x = r 2 3 é ponto de mínimo relativo.

Logo a função sempre tem mínimo relativo mas nunca tem máximo relativ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Prove que x ≤ arcsen ⁡ x em cada x de 0,1 .
Encontre as dimensões do retângulo com área máxima que pode ser inscrito na elipse x 4 2 + y 3 2 = 1 (Figura Ex- 61 ).
Em cada parte, encontre o mínimo absoluto m e o máximo absoluto M de f no intervalo dado (se existirem) e indique onde ocorrem os extremos absolutos. f x = 2 x 5 - 5 x 4 + 7 ; - 1,3 f x = 3 - x 2 - x
Em cada parte, use um recurso gráfico para estimar os valores máximo e mínimo absoluto de f , se houver, no intervalo dado, e então use os métodos do Cálculo para encontrar os valores exatos. f x = x
Seja: f x = x ,0x1 1 2 ,x = 0,1 Explique por que f não tem um valor mínimo nem um valor máximo no intervalo fechado 0 ,1 .