Enunciado

Se f x = x 5 , mostre que 0 é um número crítico de f , mas que f ( 0 ) não é um extremo relativo. A origem é um ponto de inflexão do gráfico de f ? Prove sua resposta,

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos críticos da função. Os números críticos são caracterizados pelos valores de x que permitam f ' x = 0 ou para os quais f ' x não exista. Então, o primeiro passo é calcularmos a derivada primeira:

f x = x 5

f ' x = 5 x 4

A função é contínua para todos os valores de x. Sendo assim, precisamos somente de igualar a função a 0:

f ' ( x ) = 5 x 4 = 0

x = 0

Comprovamos que 0 é um ponto crítico da função. O próximo passo é avaliar se este ponto é um extremo relativo.

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo nesse ponto, aplicamos o teste da derivada primeira:

Como a função continua a crescer, 0 não é um extremo relativo.

Passo 3

Para descobrir os pontos de inflexão do gráfico, precisamos da derivada segunda:

f ' ' x = 20 x 3

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por f ' ' x = 0 :

f ' ' x = 20 x 3 = 0

x = 0

Neste caso, a função f ' ' x será igual a 0 no ponto x = 0 . Mas para que um ponto seja classificado como ponto de inflexão a concavidade deve mudar de direção em valores maiores e menores que este.

Analisando a mudança de direção da concavidade:

Sendo assim, x = 0 é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função para comprovarmos o que foi visto:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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