Prove que x <= arcsen x em cada x de [0,1] .

Passo 1

Vamos lá, vamos fazer que a função é da forma:

f x = arcsen ⁡ x - x

Vamos então derivar para ver se possui ponto de máximo ou mínimo:

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função trigonométrica e do polinômio:

arcsen ⁡ x ' = 1 1 - x 2

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = arcsen ⁡ x - x ' = 1 1 - x 2 - 1 = 1 - 1 - x 2 1 - x 2

Agora igualando a zero:

1 - 1 - x 2 1 - x 2 = 0 → 1 - 1 - x 2 = 0 → 1 - x 2 = 1 → 1 - x 2 2 = 1 2 →

→ 1 - x 2 = 1 → x 2 = 0 → x = 0

Pronto, agora vamos avaliar os f x :

f 0 = arcsen ⁡ 0 - 0 = 0

f 1 = arcsen ⁡ 1 - 1 = π 2 - 1 = 0,57

Temos então um mínimo absoluto em 0 de valor 0 e nenhum máximo absoluto em 0,1 , com isso nós temos que x ≤ arcsen ⁡ x nesse intervalo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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