Enunciado

Dada f x = x 3 + 3 r x + 5 , prove que

a ) se r > 0 , f não tem extremos relativos

b ) se r < 0 , f tem ambos os valores, máximo e mínimo, relativos.

Passo 1

A primeira coisa que teriamos que fazer é achar os pontos críticos, ou seja, que sua derivada é 0 ou não existe.

f ' x = 3 x 2 + 3 r

Essa derivada vai sempre existir, então vamos igualar a 0 agora

3 x 2 + 3 r = 0

3 x 2 = - 3 r

x 2 = - r

x = ± - r

Aqui tem um ponto importante. Aquele vai atrapalhar a vida. A raiz quadrada só tem um número real se a expressão dentro dela for positiva. Então para que se tenha ponto crítico, precisamos de:

- r > 0

r < 0

Então temos a letra a demonstrada. Porque se r > 0 aquela expressão da raiz é negativa, o que faz com que não tenha solução real. Se não tem ponto crítico, não tem extremo relativo.

Com r < 0 os pontos críticos são

x = - r

x = - - r

Passo 2

Para analisarmos os pontos temos que aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Lembrando que já estamos considerando

r < 0

Se não nem tem ponto crítico.

Temos

f ' ' x = 6 x

Fazendo o valor dela em x = - r :

f ' ' - r = 6 - r > 0

Esse valor é maior que 0 porque a raiz é sempre positiva. Então x = - r é ponto de mínimo relativo.

Passo 3

Fazendo o valor dela em x = - - r :

f ' ' - - r = - 6 - r > 0

Esse valor é menor que 0 porque a raiz é sempre positiva. Então x = - - r é ponto de máximo relativo.

Assim, quando r < 0 temos valores de máximo e mínimo relativos

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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