Enunciado

É dada uma tabela de sinais para as derivadas primeira e segunda de uma função. f . Supondo que f seja contínua em toda parte, encontre: (a) os intervalos em que f é crescente, (b) os intervalos em que f é decrescente, (c) os intervalos abertos em que f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baixo e (e) as coordenadas de x de todos os pontos de inflexão.

Passo 1

(a) f vai ser crescente nos intervalos em que o sinal da derivada primeira for positivo. Pela tabela, temos os intervalos em que isso ocorre:

1 ,   2 e ( 2 ,   3 )

Passo 2

(b)De forma análoga, f vai ser decrescente nos intervalos em que o sinal da derivada primeira for negativo. Isso ocorre em:

- ∞ ,   1 ,   ( 3 ,   4 ) e ( 4 ,   + ∞ )

Passo 3

(c) f vai ser côncava pra cima nos intervalos em que a derivada segunda tiver sinal positivo. Pela tabela, vemos que isso ocorre em:

- ∞ ,   1 ,   ( 1 ,   2 ) e ( 4 ,   + ∞ )

Passo 4

(d)De forma análoga, f vai ser côncava pra baixo nos intervalos em que a derivada segunda tiver sinal negativo. Teremos isso em:

( 2 ,   3 ) e ( 3 ,   4 )

Passo 5

(e)Os pontos de inflexão vão ocorrer nos pontos comuns dos intervalos em que ocorre a mudança do sinal da derivada segunda. Esses pontos são:

x = 2 e x = 4

Resposta

(a) 1 ,   2 e ( 2 ,   3 )

(b) - ∞ ,   1 ,   ( 3 ,   4 ) e ( 4 ,   + ∞ )

(c) - ∞ ,   1 ,   ( 1 ,   2 ) e ( 4 ,   + ∞ )

(d) ( 2 ,   3 ) e ( 3 ,   4 )

(e) x = 2 e x = 4

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