Enunciado

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Suponha que o gráfico de uma função tenha um ponto de inflexão em x = c . O que você pode concluir, se possível sobre (a) a continuidade de f em c ; (b) a continuidade de f ' em c ; (c) a continuidade de f ' ' em c .

Passo 1

  1. Podemos concluir, de acordo com a definição de ponto de inflexão, que a função é contínua em x = c .
  2. Passo 2

  3. Não podemos concluir nada sobre a continuidade de f ' . Veja o exemplo de f x = x 1 3 , em que f ' x = 1 3 x - 2 3 = 1 3 x 2 3 e f ' ' x = - 2 3 ⋅ 1 3 x - 2 3 - 1 = - 2 9 x - 5 3 = - 2 9 x - 5 3 = - 2 9 x 5 3
  4. Perceba que f ' ( x ) não é contínua em x = 0 (esse ponto nem pertence ao domínio de f ' ), mas f tem ponto de inflexão na origem. Pois f ' ' x > 0 se x < 0 e f ' ' x < 0 se x > 0 , além disso, existe uma reta tangente nesse ponto.

    Passo 3

  5. Também não podemos concluir nada sobre a continuidade de f ' ' ( x ) , de acordo com o nosso exemplo acima, a f ( x ) tem ponto de inflexão em x = 0 , mas f ' ' ( x ) não é contínua em x = 0 (esse ponto nem pertence ao domínio de f ' ' ).

Da mesma forma que existem esses casos acima, existem os casos em que as funções são contínuas, por isso não podemos afirmar e temos que analisar cada caso.

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Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.i) f x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.g) y =
Suponha que f ' ' x > 0 em a ,   + ∞ e que existe x 0 > a t
Seja f derivável até a 2 ª ª ordem em R e tal que, para todo x , x &nb
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e