Enunciado

É dada uma tabela de valores de uma função f com gradiente contínuo. Determine ∫ C ∇ f ∙ d r , onde C tem equações paramétricas:

x = t 2 + 1 ,   y = t 3 + t ,   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos transformar essas equações paramétricas em uma função vetorial r ( t ) ou r → , tudo bem? Temos:

r t = t 2 + 1 i + t 2 + t j

Mas para determinarmos a integral de linha temos que saber quanto vale d r , logo:

d r = ( 2 t ) i + 2 t + 1 j

Como os valores de t estão definidos em 0 ≤ t ≤ 1 , isso implica que d r ≠ 0 , então pelo teorema 2 , segundo o Stewart, temos:

∫ C ∇ f ∙ d r = f r f i n a l - f r i n i c i a l

Passo 2

De acordo com o que nos foi dado, temos que o ponto inicial é em t = 0 , logo:

r 0 = 1 i + 0 j

Sendo assim:

f r i n i c i a l = f 1 ,   0

Olhando na tabela que a questão nos fornece, x = 1 e y = 0 resulta em 3 , então:

f 1 ,   0 = 3

De acordo com o que nos foi dado, temos que o ponto final é em t = 1 , logo:

r 1 = 2 i + 2 j

Sendo assim:

f r f i n a l = f 2 ,   2

Olhando na tabela que a questão nos fornece, x = 2 e y = 2 resulta em 9 , então:

f 2 ,   2 = 9

Passo 3

Agora que descobrimos os valores finais e iniciais que queríamos, basta utilizarmos a expressão do passo 1, se liga:

∫ C ∇ f ∙ d r = f r f i n a l - f r i n i c i a l = 9 - 3

∴ ∫ C ∇ f ∙ d r = 6

E é esse o nosso resultado!

Resposta

∫ C ∇ f ∙ d r = 6

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