Enunciado

Determine uma equação da esfera que passa pela origem e tem centro (1, 2, 3).

Passo 1

Fala aí, pessoal! Este é um problema de Geometria Analítica. O autor nos dá as coordenadas do centro da esfera e de um ponto por onde ela passa e nos pede uma equação dela. Em nosso livro de Cálculo, nós aprendemos o seguinte:

Equação da Esfera: Uma equação da esfera de centro C ( h ,   k ,   l )   e raio r é:

x - h 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2   ( 1 )

Em particular, se o centro da esfera for a origem do espaço euclidiano, a equação da esfera é dada:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2  

Desse modo, para nós resolvermos o problema, nós precisamos encontrar a medida do raio da esfera e, então, substituir o valor encontrado bem como das coordenadas do centro na Equação 1.

Passo 2

O raio   r da esfera é a medida da distância entre seu centro C h , k , l   e qualquer um de seus pontos de coordenadas ( x , y , z ) . A distância entre dois pontos P x 1 , y 1 , z 1 e Q ( x 2 , y 2 , z 2 ) no espaço euclidiano é dada pela seguinte fórmula:

P Q =   x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2

Portanto, o valor de r   da esfera do problema é igual a:

r = O C = 1 - 0 2 + 2 - 0 2 + 3 - 0 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 =   14

Então r 2 = 14 .

Passo 3

Determinada a medida de r 2 , basta substituirmos o valor encontrado na Equação 1 do Passo 1. Sendo assim, a equação da esfera do problema é igual a:

x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = 14

Resposta

Uma equação da esfera do problema é igual a x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = 14

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