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Dado:

1 - cos 2 ⁡ x ≤ f x ≤ x 2 para todo x   no intervalo aberto - 1 2 π ,   1 2 π . Ache lim x → 0 ⁡ f x .

Passo 1

Primeiramente vamos aplicar limite de x tendendo a 0 em toda a expressão e resolvemos os limites.

lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2

1 - 1 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 0 2

0 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ 0

Passo 2

Como lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x que é menor que lim x → 0 ⁡ f x e lim x → 0 ⁡ x 2 que é maior que lim x → 0 ⁡ f x convergem para 0, então pelo teorema do “sanduíche”   lim x → 0 ⁡ f x é igual 0.

Resposta

lim x → 0 ⁡ f x = 0

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