Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 20:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.

(b) Desenhe o gráfico da solução.

(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

y ' = 1 - 2 x y ; y(1) = -2

Passo 1

  1. A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem. Para que a resolução seja mais fácil, vamos substituir tal termo:

y '   =   d y / d x

d y d x = 1 - 2 x y

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro lado.

Assim, temos:

y   d y = ( 1 - 2 x ) d x

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ y   d y =   ∫ ( 1 - 2 x ) d x

y 2 2 + c = x -   x 2 + c '

y 2 2 = x -   x 2 + C

y 2 = 2 x -   2 x 2 + C

y = 2 x -   2 x 2 + C

No enunciado há uma informação de que y ( 1 )   =   - 2   . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

y = 2 x -   2 x 2 + C

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

- 2 = 2 ×   1 -   2 ( 1 2 ) + C

C   = 4

Assim, a equação é:

y = 2 x -   2 x 2 + 4

Passo 2

b)

Passo 3

  1. Temos como equação final da EDO o seguinte:

y = 2 x -   2 x 2 + 4

Logo, essa parcela do denominador precisa ser diferente de zero.

Assim, temos:

Que para que isso não ocorra, x precisa respeitar tais condições:

x   ≠   - 1   e   x   ≠ 2 , pois são as raízes da equação.

Assim, o intervalo em que a dolução está definida é com:

- 1   <   x   <   2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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