Enunciado

Dado que f é uma função diferenciável f 2 ,   5 = 6 , f x 2 ,   5 = 1 e f y 2 ,   5 = - 1 , use uma aproximação linear para estimar f ( 2,2 ,   4,9 ) .

Passo 1

A questão fornece o valor de uma função e suas derivadas em um determinado ponto e pede para usarmos uma aproximação linear para estimar o seu valor em outro ponto. Para isso, você precisa lembrar que uma aproximação linear é basicamente a equação do plano tangente:

L x , y = f x 0 ,   y 0 + ∂ f ∂ x x 0 ,   y 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 ,   y 0 ( y - y 0 )

Assim, a proximação linear de f em torno de x 0 , y 0 = ( 2 ,   5 ) será:

L x , y = f 2 ,   5 + f x 2 ,   5   x - 2 + f y 2 ,   5   ( y - 5 )

Assim,

L x , y = 6 + x - 2 - ( y - 5 )

Portanto,

L x , y = x - y + 9

Passo 2

Usando x = 2,2 e y = 4,9 :

L 2,2 ,   4,9 = 2,2 - 4,9 + 9 = 6,3

Assim,

f ( 2,2 ,   4,9 ) ≈ 6,3

Resposta

f ( 2,2 ,   4,9 ) ≈ 6,3

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