Enunciado

O elipsoide 4 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 16 intercepta o plano y = 2 em uma elipse. Determine as equações paramétricas da reta tangente a essa elipse o ponto ( 1 ,   2 ,   2 ) .

Passo 1

Então pessoal, o enunciado de início já facilita a nossa vida, uma vez que só precisamos determinar uma derivada parcial, que é em relação à x . Mas po, por que isso? Porque o enunciado já nos diz aonde o elipsoite intercepta em y ! Sendo assim, a inclinação da reta será dada por f x ( 1 ,   2 ,   2 ) , tudo bem? Derivando, teremos:

8 x + 2 z ∂ z ∂ x = 0

Aqui vale ressaltar que derivamos implicitamente, tudo bem? Continuando:

∂ z ∂ x = - 8 x 2 z = - 4 x z

Substituindo o ponto dado:

∂ z ∂ x 1 ,   2 ,   2 = - 4.1 2 = - 2

Passo 2

Sendo assim, temos que a reta tangente será dada pelas equações:

y = 2

z - z o = - 2 . ( x - x o )

z - 2 = - 2 . ( x - 1 )

Utilizando t = x - 1 como parâmetro, obteremos:

x = t + 1

y = 2

z = 2 - 2 t

Que são exatamente nossas equações paramétricas!

Resposta

x = t + 1

y = 2

z = 2 - 2 t

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