Enunciado

Encontre a derivada da função dada:

a (x) = co tgh^(- 1) (3 x + 1)

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de co tgh^(- 1)

(co tgh^(- 1) x)^' = (1)/(1 - x^2)

Vamos fazer

a (x) = g (h (x))

Com

g (x) = co tgh^(- 1) x

h (x) = 3 x + 1

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

a^' (x) = g^' (h (x)) h^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(1 - x^2)

Que é a derivada de co tgh^(- 1)

Então

a^' (x) = (1)/(1 - (h (x))^2) h^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (x)

h (x) = 3 x + 1 -> h^' (x) = 3

Vamos ter

a^' (x) = (1)/(1 - (3 x + 1)^2) 3

a^' (x) = (3)/(1 - (9 x^2 + 6 x + 1))

a^' (x) = (3)/(- 9 x^2 - 6 x)

Colocando - 3 em evidência no denominador

a^' (x) = (3)/(- 3 (3 x^2 + 2 x))

a^' (x) = - (1)/(3 x^2 + 2 x)

Resposta

a^' (x) = - (1)/(3 x^2 + 2 x)

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