Enunciado

Dado uma função f e um número c .

a) a) Mostre que lim x → c ⁡ f ( x ) > 0 .

b) Verifique o Teorema 2.10.1 para a função f , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que f ( x ) > 0 para todo x ≠ c no intervalo.

f x = 5 2 x + 4 ;   c = 3

Passo 1

Bem, em questões de limites temos que primeiro ver o que ele está pedindo. As vezes pode ser apenas fazer um calculo mais simples. E outras vezes vamos precisar usar truques de cálculo. Desta vez o que ele pede é ver o que acontece se jogarmos nosso valor C no limite. Então vamos la!

lim x → 3 ⁡ 5 2 x + 4 =   5 2 3 + 4

=   5 10

= 2 > 0

Show!!! Mostramos que nosso limite é positivo, como ele pediu lá no início. Vamos avançar!

Passo 2

b) Primeiro, vamos ver o que esse teorema no diz:

Se existir lim x → c ⁡ F ( x ) e for positivo, então haverá um intervalo aberto contendo C, tal que f x > 0 para todo x   ≠ c no intervalo.

Bem, ele então nos garante que podemos escrever um intervalo onde nossa função é só positiva. E melhor esse intervalo é mais que apenas um número que achamos para nossa função ser positiva ( Neste caso , c = 3 )

Então vamos lá, precisamos fazer estudo de Sinais. Isso mesmo, seus estudos em pre-calculo estando sinais não foi em vão. Vamos usá-lo agora!

Então para nossa função ser positiva, pode ocorrer duas coisas. Ou denominador e numerador são negativos, ou os dois são positivos. Então temos que :

5 2 x + 4

5 > 0   sempre, então isso nos força a char um intervalo onde o denominador seja positivo

  2 x + 4 > 0

x >   - 2

Então achamos o intervalo que precisamos

x > - 2

Assim o conjunto solução é

- 2 ,   + ∞

Resposta

a)

lim x → 3 ⁡ 5 2 x + 4 = 2 > 0

b)

O conjunto solução é - 2 ,   + ∞

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