Enunciado

Dado uma função g e um número c .

a) Mostre que lim x → c ⁡ g ( x ) < 0 .

b) Verifique o Teorema 2.10.2 para a função g , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que g ( x ) < 0 para todo x ≠ c no intervalo.

g x = x + 1 - 2 3 - x ;   c = 3

Passo 1

  1. Por se tratar de uma indeterminação vamos aplicar uma manipulação no limite de forma a não alterar o seu resultado.
  2. lim x → 3 ⁡ x + 1 - 2 3 - x = lim x → 3 ⁡ x + 1 - 2 3 - x ∙ x + 1 + 2 x + 1 + 2  

    =   lim x → 3 ⁡ ( x + 1 ) - 4 3 - x x + 1 + 2

    =     lim x → 3 ⁡ ( x - 3 ) 3 - x x + 1 + 2

    =   lim x → 3 ⁡ - 3 - x 3 - x x + 1 + 2

    lim x → 3 ⁡ - 1 x + 1 + 2

    =   - 1 3 + 1 + 2

    = - 1 4 < 0

    Passo 2

  3. Como x + 1 - 2 3 - x =   - 1 x + 1 + 2 , podemos usar o segundo termo que indica que ambas são menores que 0 e então só precisamos analisar o quociente para quando igual a 0 para o primeiro termo e saber quando a raiz quadrada não está definida.

x + 1 < 0

x + 1 < 0

x < - 1

3 - x ≠ 0

3 ≠ x

Assim o conjunto solução é   - 1 ,   3   e   3 ,   + ∞

Resposta

a)

lim x → 3 ⁡ x + 1 - 2 3 - x = - 1 4 < 0

b)

O conjunto solução é   - 1 ,   3   e   3 ,   + ∞

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17. Explique por que a função é descontinua no número dado a . Esboce o gráfico da função. f x = 1 x + 2 a = - 2
23. Como você “removeria a descontinuidade” de f ? Em outras palavras, como você definiria f ( 2 ) no intuito de fazer f continua em 2? f x = x 2 - x - 2 x - 2
7. Esboce o gráfico de uma função que seja continua exceto para a descontinuidade declarada.Descontinuidade removível em 3, descontinuidade com salto em 5
11. Suponha que f e g sejam funções continuas tal que g 2 = 6 e lim x → 2 ⁡ 3 f x + f x g x = 36 . Encontre f 2 .
18. Explique por que a função é descontinua no número dado a . Esboce o gráfico da função. f x = 1 x + 2 , x ≠ - 2 1 , x = - 2a = - 2