Enunciado

É dado o gráfico de f .

(a) Por que f é injetora?

(b) Determine o domínio e a imagem de f - 1

(c) Qual o valor de f - 1 ( 2 ) ?

(d) Obtenha uma estimativa para o valor de f - 1 ( 0 ) .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu o gráfico de uma função e pediu pra gente explicar porque essa função é injetora, determinar o domínio e o contradomínio da inversa dessa função, o valor de f - 1 ( 2 ) e obter uma estimativa para o valor de f - 1 0 .

O gráfico que ele nos deu foi esse aqui:

Pra dizer se essa é uma função injetora, precisamos usar o teste da reta horizontal. Desse modo, se ao traçarmos retas horizontais no gráfico da função, sem que nenhuma dessas retas intercepte mais de um ponto de f , então, temos que f é injetora.

Pra determinar o domínio e a imagem de f - 1 , temos que lembrar que na função inversa, o domínio de f se torna o contradomínio e o contradomínio se torna o domínio. Então, vamos olhar o gráfico e ver o intervalo de valores de x (domínio) e de y (imagem) que a função assume e inverter isso para encontrar as informações sobre a função inversa.

Depois, vamos determinar f - 1 ( 2 ) e f - 1 0 usando o mesmo conceito e analisando o gráfico.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando o teste da reta horizontal no gráfico da função:

Observe que cada uma das retas em amarelo não tocam a função em mais de um ponto. Sendo assim, f passa no teste da linha horizontal. Logo, f é injetora.

Passo 3

Agora vamos analisar no gráfico os valores de x e y para os quais a função está definida e resolver a letra (b) da questão.

Observe que o domínio de f compreende os valores de x no intervalo - 3 ,   3 . E que a imagem de f está definida para os valores de y no intervalo - 1 ,   3 .

Então, pra função inversa, f - 1 , vai ser o contrário. Assim, teremos:

D o m í n i o f - 1 = [ - 1,3 ]

I m a g e m f - 1 = [ - 3,3 ]

Passo 4

Seguindo o mesmo raciocínio para encontrar f - 1 ( 2 ) na letra (c), vamos olhar no gráfico o valor de f x = 2 . Assim, obtemos:

f ( 0 ) = 2

E como a função inversa, f - 1 , vai ser aquela que transforma y de volta pra x , vamos ter:

  f - 1 ( 2 ) = 0

Passo 5

Da mesma forma, para resolver a letra (d), vamos analisar o gráfico no ponto f x = 0 , para encontrar uma estimativa para f - 1 ( 0 ) .

Observe que quando y = 0 , temos x ≈ - 1,8 . Sendo assim, a função inversa nesse ponto será:

f - 1 0 ≈ - 1,8

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(a) f é injetora porque passa no teste da linha horizontal

(b) D o m í n i o f - 1 = [ - 1,3 ] e I m a g e m f - 1 = [ - 3,3 ]

(c) f - 1 ( 2 ) = 0

(d) f - 1 0 ≈ - 1,8

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