Enunciado

51. Ache os pontos sobre a curva y = 2 x 3 + 3 x 2 - 12 x + 1 onde a tangente é horizontal.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😐

Queremos encontrar os pontos de tangência da curva y = 2 x 3 + 3 x 2 - 12 x + 1 com retas horizontais.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Para que uma reta seja horizontal, seu coeficiente angular deverá ser nulo, ou seja, m = 0 .

Para obter o coeficiente angular, vamos derivar y pela regra da potência e igualar a 0 . Os valores de x que satisfazerem a equação, são os pontos que estamos procurando.

A regra da potencia é dada por

d x a d x = a x a - 1

Veja só! 😉

Passo 2

Sabe-se que m = y ' x 0 ,   y 0 , em que x 0 ,   y 0 é o ponto de tangência.

Então, para que isso ocorra temos que:

y = 2 x 3 + 3 x 2 - 12 x + 1

y ' = 2 3 x 3 - 1 + 3 2 x 2 - 1 - 12 x 1 - 1 + 1 0

y ' = 6 x 2 + 6 x - 12

E se m = y ' x 0 ,   y 0 =   6 x 0 2 + 6 x 0 - 12 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, obteremos os seguintes valores para x 0 :

x 0 =   - 2 e x 0 = 1

Para x 0 =   - 2 temos:

y 0 = 2 x 0 3 + 3 x 0 2 - 12 x 0 + 1 =   2 - 2 3 + 3 - 2 2 - 12 - 2 + 1 = 21

Assim, um ponto é ( - 2 ,   21 ) .

O outro ponto será para x 0 = 1 , então:

y 0 = 2 x 0 3 + 3 x 0 2 - 12 x 0 + 1 =  

= 2 1 3 + 3 1 2 - 12 1 + 1 =   - 6 .

Portanto o outro ponto é ( 1 ,   - 6 ) .

E aí! o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

- 2,21   e   ( 1 , - 6 )

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