Enunciado

Dados que y = ∑ n = 0 ∞ a n x n , calcule y ' e y ' ' e escreva os quatros primeiros termos de cada uma das séries, assim como o coeficiente de x n no termo geral. Mostre que, se y ' ' = y , então os coeficientes a 0 e a 1 são arbitrários; determine a 2 e a 3 em função de a 0 e a 1 . Mostre que a n + 2 = a n / n + 2 n + 1 , n = 0,1 , 2,3 ,   … .

Passo 1

Fala galera!!!

O problema nos forneceu a seguinte série:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Nosso objetivo, é encontrar o valor  y ' e y ' ' e escrever os quatro primeiros termos de cada série e também escrever o coeficiente de  x n no termo geral.

Passo 2

Vamos começar a resolver esse questão calculando y ' . Para isso podemos expandir a série y da seguinte maneira:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y = ∑ n = 0 ∞ n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + … + a n x n + a n + 1 x n + 1 + …

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + … + a n x n + a n + 1 x n + 1 + …

Agora, vamos diferenciar a equação acima em relação a x . Dessa forme temos:

d d x y = d d x a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + … + a n x n + a n + 1 x n + 1 + …

y ' = 0 + a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + 4 a 4 x 3 + … + n a n x n - 1 + n + 1 a n + 1 x n + …

y ' = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + 4 a 4 x 3 + … + n a n x n - 1 + n + 1 a n + 1 x n + …

Assim, os 4 primeiros termos da série de y ' são:

y ' = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + 4 a 4 x 3 + …

Podemos ver que os termos da série acima segue o seguinte padrão:

y ' = 0 + 1 a 1 x 0 + 1 + 1 a 2 x 1 + 2 + 1 a 3 x 2 + 3 + 1 a 4 x 3 + … + n + 1 a n + 1 x n + …

Logo, o coeficiente de x n do termos geral é:

n + 1 a n + 1

Podemos escrever a série da seguinte maneira:

y ' = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 a n + 1 x n

Passo 3

Agora, queremos encontrar y ' ' . Para isso podemos expandia a série y ' da seguinte maneira:

y ' = ∑ n = 0 ∞ n + 1 a n + 1 x n

∑ n = 0 ∞ n + 1 a n + 1 x n = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + … + n + 1 a n + 1 x n + n + 2 a n + 2 x n + 1 + …

y ' = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + … + n + 1 a n + 1 x n + n + 2 a n + 2 x n + 1 + …

Agora, vamos diferencia a série acima em relação a x . Assim temos:

d d x y ' = d d x a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + … + n + 1 a n + 1 x n + n + 2 a n + 2 x n + 1 + …

y ' ' = 0 + 2 a 2 + 6 a 3 x + … + n n + 1 a n + 1 x n - 1 + n + 1 n + 2 a n + 2 x n + …

y ' ' = 2 a 2 + 6 a 3 x + … + n n + 1 a n + 1 x n - 1 + n + 1 n + 2 a n + 2 x n + …

Assim, os 4 primeiros termos da série de y ' são:

y ' ' = 2 a 2 + 6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + 20 a 5 x 3 + …

Podemos ver que os termos da série acima segue o seguinte padrão:

y ' ' = 1 ⋅ 2 a 2 + 2 ⋅ 3 a 3 x + 3 ⋅ 4 a 4 x 2 + 4 ⋅ 5 a 5 x 3 + …

y ' ' = 1 ⋅ 2 a 2 + 2 ⋅ 3 a 3 x + 3 ⋅ 4 a 4 x 2 + 4 ⋅ 5 a 5 x 3 + …

y ' ' = 0 + 1 0 + 2 a 0 + 2 x 0 + 1 + 1 1 + 2 a 1 + 2 x 1 + 2 + 1 2 + 2 a 2 + 2 x 2 + 3 + 1 3 + 2 a 3 + 2 x 3 + … + n + 1 n + 2 a n + 2 x n + …

Logo, o coeficiente de x n do termos geral é:

n + 1 n + 2 a n + 2

Podemos escrever a série da seguinte maneira:

y ' ' = ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 a n + 2

Passo 4

Agora, vamos fazer y ' ' = y , para provar que os coeficientes a 0 e a 1 são arbitrários. Assim temos:

∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 a n + 2 = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Usando a afirmação 10 da seção 5.1, temos que:

2 a 2 + 6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + … + n + 1 n + 2 a n + 2 x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n

Ou seja:

2 a 2 = a 0

6 a 3 x = a 1 x

12 a 4 x 2 = a 2 x 2

n + 1 n + 2 a n + 2 x n = a n x n

Assim, encontrando a 2 e a 3 em função de a 0 e a 1 , temos

2 a 2 = a 0   →   a 2 = a 0 2

6 a 3 x = a 1 x →   a 3 = a 1 6

Também temos que:

n + 1 n + 2 a n + 2 x n = a n x n →   a n + 2 = a n n + 1 n + 2

Resposta

y ' = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + 4 a 4 x 3 + …

y ' ' = 2 a 2 + 6 a 3 x + 12 a 4 x 2 + 20 a 5 x 3 + …

y ' = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 a n + 1 x n

y ' ' = ∑ n = 2 ∞ n - 1 n a n x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 a n + 2

a 2 = a 0 2

a 3 = a 1 6

  a n + 2 = a n n + 1 n + 2

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