Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 34
- Deduza a Equação para a óptica gaussiana da Equação 1 aproximando na equação 2 por seu polinômio de Taylor de grau 1.
- Mostre que se for trocado por seu polinômio de Taylor de grau 3 na equação 2, então a equação 1 se torna a equação 4 para a óptica de terceira ordem.
[Sugestão: Use os primeiros dois termos na série binomial para e . Além disso, use ]
Passo 1
Primeira coisa: vamos colocar aqui no passo 1 todas as equações que essa questão tá falando.
Equação 1:
Equação 2:
Equação 3:
Equação 4:
Passo 2
Usando a aproximação linear para , ou seja, usando
Temos, das equações 2:
Assim, a equação 1 se torna:
Que é a equação 3.
Passo 3
Agora usando a aproximação pelo polinômio de Taylor de grau 3 para .
Vamos calcular essa aproximação.
Calculando as derivadas até a ordem 3:
Vamos centrar nosso polinômio em . Assim,
E o polinômio de Taylor fica:
Passo 4
Substituindo isso que acabamos de achar na equação 2:
Como já da pra ver que isso vai fizar uma coisa gigaaaante, vamos desenvolver primeiro só pro :
E como a gente vai ter que usar a série bonimial pra isso aí, vamos reescrever isso dai na forma:
Fazendo exatamente a mesma coisa para a gente chega no seguinte resultado:
Passo 5
Da equação 1, temos
Como o enunciado fala sobre e vamos reescrever essa equação com esses termos nesse formato:
Agora substituindo os resultados que encontramos no passo 4:
Assim conseguimos enxergar o termo
Onde
Passo 6
Usando os dois primeiros termos na série binomial para aproximar e :
Passo 7
Queremos chegar na equação 4
E até agora estamos em
Quer dizer, tá quaaaaaaase lá!
Comparando as duas equações, significa que ta faltando a gente proar que
E, para isso, vamos olhar para essa figura, que mostra uma onda de uma fonte pontual encontrando uma interface esférica de raio centrada em :
Nela, podemos ver que
Logo
E, como o enunciado sugere, , então
Assim, nossa equação fica exatamente igual a equação 4.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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