Enunciado

  1. Deduza a Equação 3 para a óptica gaussiana da Equação 1 aproximando cos ⁡ ϕ na equação 2 por seu polinômio de Taylor de grau 1.
  2. Mostre que se cos ⁡ ϕ for trocado por seu polinômio de Taylor de grau 3 na equação 2, então a equação 1 se torna a equação 4 para a óptica de terceira ordem.

[Sugestão: Use os primeiros dois termos na série binomial para l 0 - 1 e l i - 1 . Além disso, use ϕ ≈ sin ⁡ ϕ ]

Passo 1

Primeira coisa: vamos colocar aqui no passo 1 todas as equações que essa questão tá falando.

Equação 1:

n 1 l 0 + n 2 l i = 1 R n 2 s i l i - n 1 s 0 l 0

Equação 2:

l 0 = R 2 + s 0 + R 2 - 2 R s 0 + R cos ⁡ ϕ

l i = R 2 + s i - R 2 + 2 R s i - R cos ⁡ ϕ

Equação 3:

n 1 s 0 + n 2 s i = n 2 - n i R

Equação 4:

n 1 s 0 + n 2 s i = n 2 - n i R + h 2 n 1 2 s 0 1 s 0 + 1 R 2 + n 2 2 s i 1 R - 1 s i 2

Passo 2

a )

Usando a aproximação linear para cos ⁡ ϕ , ou seja, usando

cos ⁡ ϕ ≈ 1

Temos, das equações 2:

l 0 = R 2 + s 0 + R 2 - 2 R s 0 + R . 1 = R 2 + s 0 2 + 2 s 0 R + R 2 - 2 s 0 R - 2 R 2 = s 0 2 = s 0

l i = R 2 + s i - R 2 + 2 R s i - R . 1 = R 2 + s i 2 - 2 s i R + R 2 + 2 s i R - 2 R 2 = s i 2 = s i

Assim, a equação 1 se torna:

n 1 l 0 + n 2 l i = 1 R n 2 s i l i - n 1 s 0 l 0

n 1 s o + n 2 s i = 1 R n 2 s i s i - n 1 s 0 s 0

n 1 s o + n 2 s i = 1 R n 2 - n 1 = n 2 - n i R

Que é a equação 3.

Passo 3

b )

Agora usando a aproximação pelo polinômio de Taylor de grau 3 para cos ⁡ ϕ .

Vamos calcular essa aproximação.

Calculando as derivadas até a ordem 3:

f ϕ = cos ⁡ ϕ

f ' ϕ = - sen ⁡ ϕ

f ' ' ϕ = - cos ⁡ ϕ

f ' ' ' ϕ = sen ⁡ ϕ

Vamos centrar nosso polinômio em ϕ = 0 . Assim,

f 0 = cos ⁡ 0 = 1

f ' 0 = - sen ⁡ 0 = 0

f ' ' 0 = - cos ⁡ 0 = - 1

f ' ' ' 0 = sen ⁡ 0 = 0

E o polinômio de Taylor fica: P 3 x = f 0 + f ' 0 ⋅ ϕ + f ' ' 0 2 ϕ 2 + f ' ' ' 0 3 ! ϕ 3

P 3 x = 1 - 1 2 ϕ 2

Passo 4

Substituindo isso que acabamos de achar na equação 2:

l 0 = R 2 + s 0 + R 2 - 2 R s 0 + R cos ⁡ ϕ = R 2 + s 0 + R 2 - 2 R s 0 + R 1 - 1 2 ϕ 2

l i = R 2 + s i - R 2 + 2 R s i - R cos ⁡ ϕ = R 2 + s i - R 2 + 2 R s i - R 1 - 1 2 ϕ 2

Como já da pra ver que isso vai fizar uma coisa gigaaaante, vamos desenvolver primeiro só pro l 0 :

l 0 = R 2 + s 0 + R 2 - 2 R s 0 + R 1 - 1 2 ϕ 2

l 0 = R 2 + s 0 2 + 2 s 0 R + R 2 - ( 2 s 0 R + 2 R 2 ) 1 - 1 2 ϕ 2

l 0 = R 2 + s 0 2 + 2 s 0 R + R 2 - 2 s 0 R + s 0 R ϕ 2 - 2 R 2 + R 2 ϕ 2

l 0 = s 0 2 + s 0 R ϕ 2 + R 2 ϕ 2

E como a gente vai ter que usar a série bonimial pra isso aí, vamos reescrever isso dai na forma:

l 0 = s 0 2 + ϕ 2 ( s 0 R + R 2 )

l 0 = s 0 ( 1 + ϕ 2 s 0 R s 0 + R 2 s 0

l 0 = s 0 2 ( 1 + ϕ 2 s 0 R s 0 2 + R 2 s 0 2

l 0 = s 0 ( 1 + ϕ 2 R s 0 + R 2 s 0 2

Fazendo exatamente a mesma coisa para l i a gente chega no seguinte resultado:

l i = s i ( 1 - ϕ 2 R s i - R 2 s i 2

Passo 5

Da equação 1, temos

n 1 l 0 + n 2 l i = 1 R n 2 s i l i - n 1 s 0 l 0

Como o enunciado fala sobre l 0 - 1 e l i - 1 vamos reescrever essa equação com esses termos nesse formato:

n 1   l 0 - 1 + n 2 l i - 1 = n 2 R s i l i - n 1 R s 0 l 0

Agora substituindo os resultados que encontramos no passo 4:

n 1 s 0 ( 1 + ϕ 2 R s 0 + R 2 s 0 2 - 1 + n 2 s i ( 1 - ϕ 2 R s i - R 2 s i 2 - 1 = n 2 R 1 ( 1 - ϕ 2 R s i - R 2 s i 2 - n 1 R ∙ 1 ( 1 + ϕ 2 R s 0 + R 2 s 0 2

n 1 s 0 1 + ϕ 2 R s 0 + R 2 s 0 2 - 1 2 + n 2 s i 1 + ϕ 2 R s 0 + R 2 s 0 2 - 1 2 = n 2 R 1 + ϕ 2 R s 0 + R 2 s 0 2 - 1 2 - n 1 R ∙ 1 + ϕ 2 R s 0 + R 2 s 0 2 - 1 2

Assim conseguimos enxergar o termo

1 + x k

Onde

x = ϕ 2 R s 0 + R 2 s 0 2

k = - 1 2

Passo 6

Usando os dois primeiros termos na série binomial para aproximar l 0 - 1 e l i - 1 :

n 1 s 0 1 + ϕ 2 R s 0 + R 2 s 0 2 - 1 2 + n 2 s i 1 + ϕ 2 R s i + R 2 s i 2 - 1 2 = n 2 R 1 + ϕ 2 R s i + R 2 s i 2 - 1 2 - n 1 R ∙ 1 - ϕ 2 R s 0 + R 2 s 0 2 - 1 2

n 1 s 0 1 - 1 2 ϕ 2 R s 0 + R 2 s 0 2 + n 2 s i 1 + 1 2 ϕ 2 R s i - R 2 s i 2 = n 2 R 1 + 1 2 ϕ 2 R s i + R 2 s i 2 - n 1 R 1 - 1 2 ϕ 2 R s 0 + R 2 s 0 2

n 1 s 0 - n 1 ϕ 2 2 s 0 R s 0 + R 2 s 0 2 + n 2 s i + n 2 ϕ 2 2 s i R s i - R 2 s i 2 = n 2 R + n 2 ϕ 2 2 R R s i - R 2 s i 2 - n 1 R + n 1 ϕ 2 2 R R s 0 + R 2 s 0 2

n 1 s 0 + n 2 s i = n 2 R - n 1 R + n 1 ϕ 2 2 s 0 R s 0 + R 2 s 0 2 - n 2 ϕ 2 2 s i R s i - R 2 s i 2 + n 2 ϕ 2 2 R R s i - R 2 s i 2 + n 1 ϕ 2 2 R R s 0 + R 2 s 0 2

n 1 s 0 + n 2 s i = n 2 - n 1 R + n 1 ϕ 2 2 R s 0 + R 2 s 0 2 1 s 0 + 1 R + n 2 ϕ 2 2 R s i - R 2 s i 2 1 R - 1 s i

n 1 s 0 + n 2 s i = n 2 - n 1 R + n 1 ϕ 2 R 2 2 s o 1 R + 1 s 0 1 R + 1 s 0 + n 2 ϕ 2 R 2 2 s i 1 R - 1 s i 1 R - 1 s i

n 1 s 0 + n 2 s i = n 2 - n 1 R + ϕ 2 R 2 n 1 2 s 0 1 R + 1 s 0 2 + n 2 2 s i 1 R - 1 s i 2

Passo 7

Queremos chegar na equação 4

n 1 s 0 + n 2 s i = n 2 - n i R + h 2 n 1 2 s 0 1 s 0 + 1 R 2 + n 2 2 s i 1 R - 1 s i 2

E até agora estamos em

n 1 s 0 + n 2 s i = n 2 - n 1 R + ϕ 2 R 2 n 1 2 s 0 1 R + 1 s 0 2 + n 2 2 s i 1 R - 1 s i 2

Quer dizer, tá quaaaaaaase lá!

Comparando as duas equações, significa que ta faltando a gente proar que

h = ϕ R

E, para isso, vamos olhar para essa figura, que mostra uma onda de uma fonte pontual S encontrando uma interface esférica de raio R centrada em C :

Nela, podemos ver que

sin ⁡ ϕ = h R

Logo

h = R sin ⁡ ϕ

E, como o enunciado sugere, ϕ ≈ sin ⁡ ϕ , então

h = ϕ R

Assim, nossa equação fica exatamente igual a equação 4.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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