Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 91
Sejam e números positivos com . Seja sua média aritmética e sua média geométrica:
Repita esse procedimento de modo que, em geral,
(a) Use a indução matemática para mostrar que
(b) Deduza que e são ambas convergentes.
(c) Mostre que . Gauss chamou o valor comum desses limites de média aritmética-geométrica dos números e .
Passo 1
(a) Beleza, galera? Pra fazer a indução, primeiro verificamos se a afirmação vale pra :
Primeiro, vamos calcular :
pois . Assim,
Passo 2
Agora vamos ao cálculo de :
Mas , então e a expressão é diferente de :
E agora, :
pois . Então,
E assim finalizamos a primeira parte da indução, pois verificamos que
Passo 3
Show! Agora supomos que a afirmação vale pra :
E tentamos provar que vale para , beleza? Ou seja, tentaremos provar isso:
Que tal começar calculando :
pois, pela nossa hipótese, . Então:
Talvez pareça complicado de entender, porque essa notação do exercício, com esse monte de , não ajuda né? Mas perceba que todos os cálculos com vão ser bastante análogos aos dos passos anteriores, beleza?
Passo 4
Continuando, vamos calcular :
Mas segundo a nossa hipótese, , então a expressão é diferente de , ou seja,
Pra provar a última desigualdade, vamos calcular:
pois pela nossa hipótese, o que implica . Então:
E isso completa nossa indução, pois concluímos que:
Passo 5
(b) No item (a), a gente provou que , ou seja, é uma sequência monótona decrescente. Provamos também que , ou seja, é uma sequência monótona crescente. Pra ter certeza que elas são convergentes, só nos falta provar que elas são limitadas, certo?
Bom, no primeiro passo da indução, provamos o seguinte:
O que nos possibilita escrever:
Sabe o que isso significa? Tanto como são limitadas, olha:
Então, pelo Teorema da Sequência Monótona, ambas são convergentes.
Passo 6
(c) Show! Agora a gente só tem que calcular os limites de cada sequência e mostrar que eles são iguais! Pra isso, vamos tomar o limite em cada uma das equações de e . No final você vai ver que não precisava ter feito todo o processo com as duas equações, bastava uma. Então, se quiser, pode só escolher um lado da resolução pra acompanhar, beleza?
Aqui vamos “distribuir” os limites:
Agora lembre-se que quando as sequências são convergentes, podemos escrever e :
Ou seja, chegamos a duas equações envolvendo o limite das sequências, e pra você enxergar isso melhor, vamos escrever e :
Bora resolver cada uma?
Ou seja, seguindo qualquer dos dois caminhos, mostramos que
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)