Enunciado

Sejam a e b números positivos com a > b . Seja a 1 sua média aritmética e b 1 sua média geométrica:

a 1 = a + b 2                     b 1 = a b

Repita esse procedimento de modo que, em geral,

a n + 1 = a n + b n 2                     b n + 1 = a n b n

(a) Use a indução matemática para mostrar que

a n > a n + 1 > b n + 1 > b n

(b) Deduza que a n e b n são ambas convergentes.

(c) Mostre que l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   b n . Gauss chamou o valor comum desses limites de média aritmética-geométrica dos números a e b .

Passo 1

(a) Beleza, galera? Pra fazer a indução, primeiro verificamos se a afirmação vale pra n = 0 :

a > a 1 > b 1 > b

Primeiro, vamos calcular a - a 1 :

a - a 1 = a - a + b 2 = a - b 2 > 0

pois a > b . Assim,

a - a 1 > 0

a > a 1

Passo 2

Agora vamos ao cálculo de a 1 - b 1 :

a 1 - b 1 = a + b 2 - a b = 1 2 a - a b + b = 1 2 a - b 2 ≥ 0

Mas a > b , então a ≠ b e a expressão é diferente de 0 :

a 1 - b 1 > 0

a 1 > b 1

E agora, b 1 - b :

b 1 - b = a b - b = a b - b 2 = b a - b > 0

pois a > b ⇒ a > b . Então,

b 1 - b > 0

b 1 > b

E assim finalizamos a primeira parte da indução, pois verificamos que

a > a 1 > b 1 > b

Passo 3

Show! Agora supomos que a afirmação vale pra n = k :

a k > a k + 1 > b k + 1 > b k

E tentamos provar que vale para n = k + 1 , beleza? Ou seja, tentaremos provar isso:

a k + 1 > a k + 2 > b k + 2 > b k + 1

Que tal começar calculando a k + 1 - a k + 2 :

a k + 1 - a k + 2 = a k + 1 - a k + 1 + b k + 1 2 = a k + 1 - b k + 1 2 > 0

pois, pela nossa hipótese, a k + 1 > b k + 1 . Então:

a k + 1 - a k + 2 > 0

a k + 1 > a k + 2

Talvez pareça complicado de entender, porque essa notação do exercício, com esse monte de k , não ajuda né? Mas perceba que todos os cálculos com k vão ser bastante análogos aos dos passos anteriores, beleza?

Passo 4

Continuando, vamos calcular a k + 2 - b k + 2 :

a k + 2 - b k + 2 = a k + 1 + b k + 1 2 - a k + 1 b k + 1 = 1 2 a k + 1 - 2 a k + 1 b k + 1 + b k + 1 = 1 2 a k + 1 - b k + 1 2 ≥ 0

Mas segundo a nossa hipótese, a k + 1 > b k + 1 , então a expressão é diferente de 0 , ou seja,

a k + 2 - b k + 2 > 0

a k + 2 > b k + 2

Pra provar a última desigualdade, vamos calcular:

b k + 2 - b k + 1 = a k + 1 b k + 1 - b k + 1 = b k + 1 a k + 1 - b k + 1 > 0

pois a k + 1 > b k + 1 pela nossa hipótese, o que implica a k + 1 > b k + 1   . Então:

b k + 2 - b k + 1 > 0

b k + 2 > b k + 1

E isso completa nossa indução, pois concluímos que:

a k + 1 > a k + 2 > b k + 2 > b k + 1

Passo 5

(b) No item (a), a gente provou que a n > a n + 1 , ou seja, a n é uma sequência monótona decrescente. Provamos também que b n + 1 > b n , ou seja, b n é uma sequência monótona crescente. Pra ter certeza que elas são convergentes, só nos falta provar que elas são limitadas, certo?

Bom, no primeiro passo da indução, provamos o seguinte:

a > a 1 > b 1 > b

O que nos possibilita escrever:

a > a 1 ≥ a n > b n ≥ b 1 > b

Sabe o que isso significa? Tanto a n como b n são limitadas, olha:

a > a n > b

a > b n > b

Então, pelo Teorema da Sequência Monótona, ambas são convergentes.

Passo 6

(c) Show! Agora a gente só tem que calcular os limites de cada sequência e mostrar que eles são iguais! Pra isso, vamos tomar o limite em cada uma das equações de a n e b n . No final você vai ver que não precisava ter feito todo o processo com as duas equações, bastava uma. Então, se quiser, pode só escolher um lado da resolução pra acompanhar, beleza?

a n + 1 = a n + b n 2                                       b n + 1 = a n b n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = l i m n → ∞ a n + b n 2                                         l i m n → ∞ b n + 1 = l i m n → ∞ a n b n

Aqui vamos “distribuir” os limites:

l i m n → ∞ a n + 1 = 1 2 l i m n → ∞ a n + l i m n → ∞ b n                                         l i m n → ∞ b n + 1 = l i m n → ∞ a n l i m n → ∞ b n

Agora lembre-se que quando as sequências são convergentes, podemos escrever l i m n → ∞   a n + 1 = l i m n → ∞   a n e l i m n → ∞ b n + 1 = l i m n → ∞ b n :

l i m n → ∞ a n = 1 2 l i m n → ∞ a n + l i m n → ∞ b n                                         l i m n → ∞ b n = l i m n → ∞ a n l i m n → ∞ b n

Ou seja, chegamos a duas equações envolvendo o limite das sequências, e pra você enxergar isso melhor, vamos escrever l i m n → ∞ a n = A e l i m n → ∞ b n = B :

A = 1 2 A + B                                       B = A B

Bora resolver cada uma?

A = 1 2 A + 1 2 B                                         B B = A B

1 2 A = 1 2 B                                         B = A

A = B                                         B = A

Ou seja, seguindo qualquer dos dois caminhos, mostramos que

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   b n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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