Enunciado

  1. Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e que ∑ b n seja divergente. Demonstre que se
  2. lim n → ∞ ⁡ a n b n = ∞

    então, ∑ a n também é divergente.

  3. Use a parte (a) para mostrar que as séries divergem.
  1. ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n
  2. ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

Passo 1

  1. Se ( a n / b n ) → ∞ a partir de um certo valor de n temos que a n > b n até que com um n suficientemente grande a divisão tende ao infinito.
  2. Se a partir de um valor a n > b n , e a série ∑ b n é divergente, pelo teste da comparação ∑ a n também diverge.

    Passo 2

  1. a n = 1 ln ⁡ n
  2. Para comparar, vamos usar

    b n = 1 n

    Calculando o limite

    lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n 1 n = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n

    Aplicando L’Hospital

    = lim n → ∞ ⁡ 1 1 / n = lim n → ∞ ⁡ n = ∞

    Como

    lim n → ∞ ⁡ a n b n = ∞

    E ∑ b n diverge, pois a série harmônica diverge, temos que

    ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n

    Também diverge.

    Passo 3

  3. a n = ln ⁡ n n

Para comparar, vamos usar

b n = 1 n

Calculando o limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n = ∞

Como

lim n → ∞ ⁡ a n b n = ∞

E ∑ b n diverge, pois a série harmônica diverge, temos que

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

Também diverge.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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