Enunciado

Em cada item, determine onde f é diferenciável.

f (x) = t g x

Passo 1

Para uma função ser diferenciável em um ponto, vemos se a função é contínua no ponto e se a derivada dela é contínua nesse ponto.

Como queremos dizer onde nossa função é diferenciável, podemos ver onde isso não acontece, a partir dessas duas condições. Beleza? Vamos lá!

Passo 2

Olhando a primeira condição, podemos lembrar que:

t g x = (s e n x)/(cos x)

Como isso é uma fração, sabemos que o denominador precisa ser diferente de 0 , para a função estar definida. Então:

cos x != 0 :. x != (pi)/(2) + n pi

Sendo n um número inteiro. Daí a gente vê que nossa função não é diferenciável nesse conjunto de pontos.

Passo 3

Se olharmos para a derivada:

f^' (x) = sec^2 x = ((1)/(cos x))^2

Temos o mesmo problema cos x != 0 . Por isso, dizemos que nossa função é diferenciável para:

x != (pi)/(2) + n pi , n = 0 , +- 1 , +- 2 , ...

Resposta

f ( x ) é diferenciável para x != (pi)/(2) + n pi , n = 0 , +- 1 , +- 2 , ...

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Provar que:(b) Se y = sec ⁡ x , então y ' = sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x
Provar que:(b) Se y = sec h x , então y^' = - s e c h x * tgh x
Provar que:(b) Se y = cosh ⁡ x , então y ' = s enh ⁡ x
Provar que:(b) Se y = tgh x , então y^' = sech^2 x
Encontrar todos os pontos onde o gráfico de f ( x ) tem tangente horizontal. Usando uma ferramenta gráfica, esboçar o gráfico de f ( x ) e f ' ( x ) e comparar os resultados.b) f x = 2 cos ⁡ x