Enunciado

42. Defina a função f   em função [ 0,1 ] por

f x = 1 ,   s e   0 < x ≤ 1 0 ,   s e   x = 0

Use a definição 5.5.1 para mostrar que

∫ 0 1 f x d x

Passo 1

Temos que fazer a soma de Riemann e utilizar a definição 5.5.1 que diz:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k = ∫ a b f x d x

Essa definição diz que a soma de Riemann de uma função contínua é igual a integral definida dessa função!

Passo 2

Para fazermos a soma de Riemann temos que selecionar alguns valores de x k * e calcular a soma de Riemann!

Faremos uma primeira soma de Riemann escolhendo valores de x k * que não incluem o x = 0 e para qualquer valor que não inclua o 0 , temos f x k * = 1 . Substituindo na soma de Riemann, temos:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n 1 ∆ x k = lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ∆ x k

Esse é o somatório de todos os subintervalos entre [ 0,1 ] , então esse valor é igual ao comprimento do intervalo.

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ∆ x k = 1 - 0 = 1

Portanto a Soma de Riemann é:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k = 1

Passo 3

Agora faremos considerando 0 e outros valores no intervalo 0 < x ≤ 1 . Para o valor 0 , nós temos a função f 0 = 0 , então nós teremos a soma do somatório que resta, excluindo o zero, mais o valor de f ( 0 ) , que é igual a zero.

Teremos algo assim:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k + lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ( 0 ) ∆ x k

Que vai dar um somatório igual ao do passo 2. Dá uma olhada aqui embaixo:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k

E já calculamos esse somatório lá no passo 2, é igual a: 1 - 0 = 1

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k = 1

Portanto o valor independe do valor que escolhemos, então a soma de Riemann é:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k = 1

Utilizando a definição 5.5.1, temos:

∫ a b f x d x = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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A área marcada B é três vezes a área marcada A. Expresse b em termos de a.
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Determine o centro de massa da região A dada c )A = x , y ∈ R |x 2 + 4 y 2 ≤ 1 ,y ≥ 0
Determine o centro de massa da região A dada b )A = x , y ∈ R |x 2 + 4 y 2 ≤ 1 ,x ≥ 0 , y ≥ 0