Enunciado

Mostre que y = x + 3 é uma assíntota oblíqua do gráfico de f x = x 2 x - 3 . Esboce o gráfico de y = f x , mostrando esse comportamento assintótico.

Passo 1

Vamos analisar a função, como o numerador tem grau maior do que o denominador podemos reescrever realizando a divisão:

Temos assim:

x 2 = x - 3 x + 3 + 9 → x 2 x - 3 = x + 3 + 9 x - 3

Assim f x = x + 3 + 9 x - 3 .

Passo 2

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico, temos que a parcela 9 x - 3 tende a 0 quando x → + ∞ ou x → - ∞ , assim:

f x - x - 3 → 0

Quando x → + ∞ ou x → - ∞ .

Geometricamente isso significa que o gráfico de f x vai ficando cada vez mais próximo da reta y = x + 3 quando x → + ∞ ou x → - ∞ , e essa reta é denominada assíntota oblíqua ou inclinada de f .

Passo 3

E aqui temos o gráfico da função, com a reta y = x + 3 pontilhada de azul:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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