Enunciado

Defina a função f por

f x = 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

Segue, pelo Teorema 5.5.8(b), que f não é integrável no intervalo [ 0 ,   1 ] . Aplique a Definição 5.5.1 para provar que isso realmente ocorre. [Sugestão: Argumente que, independentemente de quão pequena seja a norma de uma partição de [ 0 ,   1 ] , sempre haverá alguma escolha de x 1 * que torne a soma de Riemann da Definição 5.5.1 tão grande quanto queiramos.]

Passo 1

A definição que ele fala para a gente usar diz que para nossa f ( x ) ser integrável no intervalo [ 0,1 ] , o limite:

lim max ⁡ Δ x k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x k

deve existir e não depender da escolha das partições ou da escolha de pontos x k * nos subintervalos.

Só que ele já fala para gente que essa função não atende esses requisitos. Por que ela não atende? Vamos descobrir!

Passo 2

Se a gente escolher um valor de x 1 * muito próximo de zero, sabemos que quando substituirmos na função f ( x ) , ela vai tender ao infinito:

lim x 1 * → 0 ⁡ f x = l i m x 1 * → 0 1 x = ∞

Podemos escolher um x 1 * tão próximo de zero que o produto:

f x 1 * Δ x 1

ainda tenda ao infinito, mesmo que a partição Δ x 1 seja um valor próximo de zero também. E aí podemos escrever:

f x 1 * Δ x 1 > N

Sendo N um número positivo bem grande.

Passo 3

Agora vamos voltar para o limite:

lim max ⁡ Δ x k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x k

Como ele é um somatório e f x 1 * Δ x 1 é só uma parcela desse somatório, sabemos que:

l i m max ⁡ Δ x k → 0 ∑ k = 1 n f x k * Δ x k > f x 1 * Δ x 1 > N

Já que N é um número bem grande, e o produto f x 1 * Δ x 1 é um número maior que ele (ele tende ao infinito), o limite do somatório vai explodir para infinito também, ou seja, ele não vai existir.

Se esse limite, dependendo da escolha dos pontos x k * não existe, então a função não é integrável.

Resposta

Prova nos passos

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