Enunciado

Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule ∇ f x , y , z sendo

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

O gradiente de uma função de duas variáveis f x , y é definido como

∇ f x , y = f x x , y , f y x , y

Analogamente para uma função de três variáveis f x , y , z

∇ f x , y , z = f x x , y , z , f y x , y , z , f z x , y , z

Calculando as derivadas

f x x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2

f y x , y , z = y x 2 + y 2 + z 2

f z x , y , z = z x 2 + y 2 + z 2

E o gradiente é dado por

∇ f x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 , y x 2 + y 2 + z 2 , z x 2 + y 2 + z 2

∇ f x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 x , y , z

Resposta

∇ f x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 x , y , z

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