Enunciado

14.48. Se g x , y = x - y 2 , determine o vetor gradiente ∇ g 3 , - 1 e use-o para determinar a reta tangente à curva de nível da função g x , y = 2 no ponto 3 , - 1 . Esboce as curvas de nível, reta tangente e vetor gradiente.

Passo 1

Beleza, vamos lá...

Temos que determinar o vetor gradiente, e a gente calcula ele assim

∇ g x , y = < ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y >

Então

∇ g x , y = < 1 , - 2 y >

Passo 2

Agora vamos achar à reta tangente, e como o exercício já nos diz, precisaremos de ∇ g ( 3 , - 1 ) então vamos calcular

∇ g 3 , - 1 = < 1 ,   - 2 - 1 >

∇ g 3 , - 1 = < 1 ,   2 >

Agora para achar a reta tangente usamos a equação

∇ g 3 , - 1 ⋅ < x - 3 ,   y - ( - 1 ) >   = 0

Então temos um produto escalar aqui

< 1 , 2 > ⋅ < x - 3 ,   y + 1 >   = 0

Isso vai dar

x - 3 + 2 y + 1 = 0

x - 3 + 2 y + 2 = 0

Simplificando

x + 2 y = 1

E temos a equação da reta.

Passo 3

Agora resta esboçar a reta.

Resposta

𝐴 equação da reta é

x + 2 y = 1

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Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y
Seja U x , y = 2 x 2 + 1 2 y 2 a função energia potencial associada ao campo F → . Uma partícula de massa 1 é abandonada na posição ( 1,1 ) com velocidade nula. Admita que F → é a única força atuando
Determine todas as funções f : R 2 → R tais que a) ∂ f ∂ x = 9 x 2 y 2 - 10 x , ∂ f ∂ y = 6 x 3 y + 1 b) ∂ f ∂ x = y c o s x y + 3 x 2 - y, ∂ f ∂ y = x c o s x y - x + 3 y 2 c) ∂ f ∂ x = 2 x e x 2 + y
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Se F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Se F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que