Enunciado

Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique porque ela é mais fácil.

∬ D y d A ,     D   é   l i m i t a d a   p o r   y = x - 2 ,   x = y 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Como D é limitado pelas retas y = x 2 e y = 3 x , vamos plotar estas retas para ver como fica a região D :

Nosso objetivo é expressar D como uma região do tipo I e também do tipo I I e em seguida analisar qual a integral dupla que será mais fácil de resolver.

Passo 2

Para a região como do tipo I , temos:

D x , y 0 ≤ x ≤ 1 , - x ≤ y ≤ x ∪ x , y 1 ≤ x ≤ 4 , x - 2 ≤ y ≤ x

Temos então que:

∬ D y d A = ∫ 0 1 ∫ - x x y d y d x + ∫ 1 4 ∫ x - 2 x y d y d x

Passo 3

Para a região como do tipo I , temos:

D x , y 0 ≤ x ≤ 1 , - x ≤ y ≤ x ∪ x , y 1 ≤ x ≤ 4 , x - 2 ≤ y ≤ x

Temos então que:

∬ D y d A = ∫ - 1 2 ∫ y 2 2 + y y d x d y

Passo 4

Podemos notar que a integral gerada a partir da região do tipo I é mais complicada porque o limite inferior consiste em duas partes. Então vamos resolver para o tipo I I .

Temos então que:

∬ D y d A = ∫ - 1 2 ∫ y 2 2 + y y d x d y

Vamos resolver a integral de dentro:

∫ y 2 2 + y y d x = y x y 2 2 + y

∫ y 2 2 + y y d x = y 2 + y - y 2

∫ y 2 2 + y y d x = 2 y + y 2 - y 3

Logo:

∫ - 1 2 ∫ y 2 2 + y y d x d y = ∫ - 1 2 2 y + y 2 - y 3 d y

∫ - 1 2 ∫ y 2 2 + y y d x d y = ∫ - 1 2 2 y d y + ∫ - 1 2 y 2 d y - ∫ - 1 2 y 3 d y

Resolvendo, temos:

∫ - 1 2 2 y d y + ∫ - 1 2 y 2 d y - ∫ - 1 2 y 3 d y = 2 y 2 2 - 1 2 + y 3 3 - 1 2 - y 4 4 - 1 2

= 2 2 - - 1 2 + 1 3 2 3 - - 1 3 - 1 4 2 4 - - 1 4

= 4 - 1 + 8 3 + 1 3 - 16 4 - 1 4

= 9 4

Portanto:

∬ D y d A = 9 4

Resposta

∬ D y d A = 9 4

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