Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um círculo e, logo, deve envolver coordenadas polares na mudança de variável. Então, fazendo:

x = ρ c o s θ

y = ρ s e n θ

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

x ,   y = φ ρ ,   θ

Dada por:

d x d y = ∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ d ρ d θ

Então:

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ = c o s θ - ρ s e n θ s e n θ ρ c o s θ = ρ c o s 2 θ + s e n 2 θ = ρ

∂ x ,   y ∂ ρ ,   θ = ρ

Portanto:

d x d y = ρ d ρ d θ

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B ρ θ , onde B = φ B ρ θ . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é 1 / 8 de um círculo de raio r = 1 como mostrado no esboço a seguir:

Então as novas variáveis serão dadas por:

0 ≤ ρ ≤ 1

E

π 4 ≤ θ ≤ π 2

Dessa forma, tem-se:

B ρ θ = ρ ,   θ ∈ R 2 | 0 ≤ ρ ≤ 1   e π 4 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

∫ ∫ B y 2   d x d y = ∫ ∫ B ρ θ ρ 2 s e n 2 θ   ρ d ρ d θ

∫ π / 4 π / 2 ∫ 0 1 ρ 3 s e n 2 θ d ρ d θ

E, resolvendo-a:

∫ π / 4 π / 2 s e n 2 θ ρ 4 4 | 1 0 d θ

Substituindo o intervalo de integração:

∫ π / 4 π / 2 1 4 s e n 2 θ d θ

Passo 4

Lembrando a identidade trigonométrica

s e n 2 n x = 1 - cos ⁡ 2 n x 2

Então:

= 1 4 ∫ π / 4 π / 2 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 1 8 ∫ π / 4 π / 2 1 - cos ⁡ 2 θ d θ

= 1 8 θ - s e n 2 θ 2 | π / 2 π / 4

Substituindo o intervalo de integração:

= 1 8 π 2 - π 4 - 1 2 s e n π - s e n π 2 = 1 8 π 4 + 1 2

= 1 16 π 2 + 1

Resposta

1 16 π 2 + 1

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