Enunciado

Calcule

Passo 1

Neste caso, o conjunto B deve ser determinado antes de tudo. Para tanto, deve ser analisado o que foi dado:

x^2 + y^2 - 2 y = 0 -> x^2 + (y - 1)^2 = 1

Que representa a equação de um círculo de raio r = 1 , mas o conjunto limita à metade direita do círculo.

Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 0 <= x <= 1 , 1 - sqrt(1 - x^2) <= y <= 1 + sqrt(1 - x^2)}

Então, fazendo:

x = rho c o s theta

y - 1 = rho s e n theta

Pretende-se determinar o resultado da transformação:

(x , y) = phi (rho , theta)

Dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (rho , theta))| d rho d theta

Então:

(del (x , y))/(del (rho , theta)) = |[[(del x)/(del rho),(del x)/(del theta)],[(del y)/(del rho),(del y)/(del theta)]]| = |[[c,o,s,theta,-,rho,s,e,n,theta],[s,e,n,theta,rho,c,o,s,theta]]| = rho (c o s^2 theta + s e n^2 theta) = rho

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = rho

Portanto:

d x d y = rho d rho d theta

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original.

Então as novas variáveis serão dadas por:

Para x^2 + y^2 - 2 y = 0 -> rho^2 c o s^2 theta + 1 + 2 rho s e n theta + rho^2 s e n^2 theta - 2 - 2 rho s e n theta = 0

:. - 1 <= rho <= 1

E:

- (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2)

Dessa forma, tem-se:

B_rho theta = {(rho , theta) in R^2 | 0 <= rho <= 1 e - (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2)}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B (x y) d x d y = int int_B_rho theta (rho c o s theta (1 + rho s e n theta)) rho d rho d theta

= int_(- pi // 2)^(pi // 2) [int_0^1 (rho^2 c o s theta + rho^3 s e n theta c o s theta) d rho] d theta

E, resolvendo-a:

= int_(- pi // 2)^(pi // 2) [(rho^3)/(3) c o s theta + (rho^4)/(4) s e n theta c o s theta] | [[1],[0]] d theta

Substituindo o intervalo de integração:

int_(- pi // 2)^(pi // 2) [(1)/(3) c o s theta + (1)/(4) s e n theta c o s theta] d theta

Passo 4

A segunda integral pode ser resolvida através do método da substituição simples com u = s e n theta e d u = c o s theta d theta , tal que:

Quando theta = (pi)/(2) -> u = 1

Quando theta = - (pi)/(2) -> u = - 1

Então:

(1)/(4) int u d u |[[1],[-,1]] = (1)/(8) u^2| [[1],[-,1]] = 0

Visto que a integral do segundo termo é nulo, logo:

= (1)/(3) s e n theta | [[pi,//,2],[-,pi,//,2]] + 0

Substituindo o intervalo de integração:

= (1)/(3) [s e n ((pi)/(2)) - s e n (- (pi)/(2))] = (2)/(3)

Resposta

(2)/(3)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

13. Calcular ∬ R ( x + y )d xd y onde R é a região delimitada por y = x 2 + 1; y = - 1 - x 2 ;x = - 1ex = 1 .
22. Calcular ∬ R xd xd y onde R é a região descrita na figura 7.18.
21. Calcular ∬ R 1 + x + y d x d y onde R é delimitada pelo triângulo de vértices 1,1 , 1,2e2 , - 1 .
15. Calcular ∬ R ( x + 1 )d xd y , sendo R a região delimitada por x + y = 1 .
17. Calcular ∬_R^() x d x d y , sendo R a região delimitada por y = - x , y = 4 x e y = (3)/(2) x + (5)/(2)