Enunciado

Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde a função seguinte tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

f x =   - x 3 + 5 x 2 - 6 x

Passo 1

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se f é uma função contínua em um certo intervalo [ a , b ] e derivável até 2ª ordem no intervalo ( a , b ) , temos que:

  1. Se f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   a . b .
  2. Se f ' ' x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   a . b .

Aplicando esse conceito a nossa função, temos:

f ' x =   - 3 x 2 + 10 x - 6

f ' ' x =   - 6 x + 10

Fazendo f ' ' x > 0 , temos as seguintes desigualdades equivalentes:

- 6 x + 10 > 0 ⇒ - 6 x > - 10 ⇒ 6 x < 10 ⇒ x < 10 6 ⇒ x < 5 3

Em - ∞ , 5 3 ,   f ' ' x > 0 ⇒ A função é côncava para cima.

Em 5 3 ,   ∞   ,   f ' ' x < 0 ⇒ A função é côncava para baixo.

Passo 2

No ponto x = 5 3 , a concavidade muda de sentido. Logo, neste ponto, o gráfico de f tem um ponto de inflexão.

5 3 , f 5 3   é   u m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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