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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart - 14.4 - 45

Demonstre que, se   f é uma função de duas variáveis diferenciável em ( a , b ) , então f é contínua em ( a , b ) . Sugestão: Mostre que

lim Δ x , Δ y → 0,0 ⁡ f ( a + Δ x , b + Δ y ) = f ( a , b )

Passo 1

Usando a sugestão, se provarmos o limite dado, conseguimos afirmar que, para um incremento suficientemente pequeno Δ x e Δ y das coordenadas ( a , b ) , a função converge para f ( a , b ) , o que prova que a função é contínua.

Se z = f ( x , y ) , podemos dizer que entre um ponto ( a , b ) até um incremento nas coordenadas ( a + Δ x , b + Δ y ) temos que a variação de z é

Δ z = f a + Δ x , b + Δ y - f ( a , b )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a função é diferenciável podemos dizer também que

Δ z = f x a , b Δ x + f y a , b Δ y + ε 1 Δ x + ε 1 Δ y

Igualando as duas equações

f a + Δ x , b + Δ y - f a , b = f x a , b Δ x + f y a , b Δ y + ε 1 Δ x + ε 1 Δ y

Quando Δ x , Δ y → 0,0 todo o lado direito da equação → 0

f a + Δ x , b + Δ y - f a , b = 0

f a + Δ x , b + Δ y = f a , b

Logo a função é continua.

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