Enunciado

Encontre uma fórmula para a distância entre os pontos com coordenadas polares ( r 1 , θ 1 ) e ( r 2 , θ 2 ) .

Passo 1

Queremos calcular a distância entre os pontos com coordenadas polares ( r 1 , θ 1 ) e ( r 2 , θ 2 ) .

Bom, distância entre pontos nós sabemos como calcular, com a fórmula d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 , mas nessa fórmula as coordenadas usadas são cartesianas, e não polares. Então, vamos converter nossos pontos para coordenadas cartesianas:

Sabemos que x = r cos ⁡ θ ,       y = r   s e n   θ

Então r 1 , θ 1 = r 1 cos ⁡ θ 1 , r 1 s e n θ 1

E e r 2 , θ 2 = ( r 2 cos ⁡ θ 2 , r 2 s e n   θ 2 )

Agora que temos dois pontos com coordenadas cartesianas, podemos usar nossa fórmula para distância:

d = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

d = r 1 cos ⁡ θ 1 - r 2 cos ⁡ θ 2 2 + ( r 1 s e n   θ 1 - r 2 s e n   θ 2 ) 2  

d = r 1 2 cos 2 ⁡ θ 1 + r 2 2 cos 2 ⁡ θ 2 - 2 r 1 r 2 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 + ( r 1 2 s e n 2   θ 1 + r 2 2 s e n 2   θ 2 - 2 r 1 r 2 s e n θ 1 s e n θ 2 )  

d = r 1 2 cos 2 ⁡ θ 1 + r 1 2 s e n 2   θ 1 ) + ( r 2 2 cos 2 ⁡ θ 2 + r 2 2 s e n 2   θ 2 ) - 2 r 1 r 2 ( cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 + s e n   θ 1 s e n θ 2  

Agora vamos dar uma lembrada rapidinho em uma fórmula trigonométrica:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ acos ⁡ b - s e n   a   s e n   b

Veja que ela aparece na nossa conta, ali no último termo. Então vamos trocar:

d = r 1 2 + r 2 2 - 2 r 1 r 2 c o s ⁡ ( θ 1 - θ 2 )  

Assim, essa é a distância que estávamos procurando.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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