Enunciado

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , mostre que

∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = ∂ 2 z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 + 1 r ∂ z ∂ r

Passo 1

Derivando z em relação a r

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ r

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y sen ⁡ θ

Derivando novamente

∂ 2 z ∂ r 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x ∂ r + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ∂ y ∂ r cos ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ r + ∂ 2 z ∂ y 2 ∂ y ∂ r sen ⁡ θ

∂ 2 z ∂ r 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 cos ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y ∂ x sen ⁡ θ cos ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ x ∂ y cos ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 sen ⁡ θ sen ⁡ θ

∂ 2 z ∂ r 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y ∂ x sen ⁡ θ cos ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ x ∂ y cos ⁡ θ sen ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ

Como ∂ 2 z ∂ y ∂ x = ∂ 2 z ∂ x ∂ y , podemos soma-los

∂ 2 z ∂ r 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ x ∂ y 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

∂ 2 z ∂ r 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ x ∂ y sen ⁡ 2 θ

Passo 2

Derivando z em relação a θ

∂ z ∂ θ = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ θ

∂ z ∂ θ = - ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y r cos ⁡ θ

Derivando novamente

∂ 2 z ∂ θ 2 = - ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x ∂ θ + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ∂ y ∂ θ r sen ⁡ θ - ∂ z ∂ x r cos ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 ∂ y ∂ θ r cos ⁡ θ - ∂ z ∂ y r sen ⁡ θ

∂ 2 z ∂ θ 2 = - - ∂ 2 z ∂ x 2 r sen ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y ∂ x r cos ⁡ θ r sen ⁡ θ - ∂ z ∂ x r cos ⁡ θ + - ∂ 2 z ∂ x ∂ y r sen ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 r cos ⁡ θ r cos ⁡ θ - ∂ z ∂ y r sen ⁡ θ

∂ 2 z ∂ θ 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 r 2 sen 2 ⁡ θ - ∂ 2 z ∂ y ∂ x r 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - ∂ 2 z ∂ x ∂ y r 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 r 2 cos 2 ⁡ θ - ∂ z ∂ x r cos ⁡ θ - ∂ z ∂ y r sen ⁡ θ

Somando ∂ 2 z ∂ y ∂ x com ∂ 2 z ∂ x ∂ y

∂ 2 z ∂ θ 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 r 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 r 2 cos 2 ⁡ θ - ∂ 2 z ∂ x ∂ y 2 r 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ - ∂ z ∂ x r cos ⁡ θ - ∂ z ∂ y r sen ⁡ θ

∂ 2 z ∂ θ 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 r 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 r 2 cos 2 ⁡ θ - ∂ 2 z ∂ x ∂ y r 2 sen ⁡ 2 θ - ∂ z ∂ x r cos ⁡ θ - ∂ z ∂ y r sen ⁡ θ

Dividindo por r 2

1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ - ∂ 2 z ∂ x ∂ y sen ⁡ 2 θ - 1 r ∂ z ∂ x cos ⁡ θ - 1 r ∂ z ∂ y sen ⁡ θ

Passo 3

Dividindo ∂ z ∂ r por r

1 r ∂ z ∂ r = 1 r ∂ z ∂ x cos ⁡ θ + 1 r ∂ z ∂ y sen ⁡ θ

Somando essa expressão com 1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 temos que os termos 1 r ∂ z ∂ x cos ⁡ θ e 1 r ∂ z ∂ y sen ⁡ θ se cancelam, então

1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 + 1 r ∂ z ∂ r = ∂ 2 z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ - ∂ 2 z ∂ x ∂ y sen ⁡ 2 θ

Agora somando essa expressão com ∂ 2 z ∂ r 2 , de cara os termos ∂ 2 z ∂ x ∂ y sen ⁡ 2 θ se cancelam e temos

∂ 2 z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 + 1 r ∂ z ∂ r = ∂ 2 z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ x 2 sen 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 cos 2 ⁡ θ

∂ 2 z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 + 1 r ∂ z ∂ r = ∂ 2 z ∂ x 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

∂ 2 z ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 z ∂ θ 2 + 1 r ∂ z ∂ r = ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que se w = ƒ(s) é qualquer função diferenciável de s e se s = y + 5x, então δ w δ x - 5 δ w δ y = 0
Encontre ∂ z / ∂ u quando u = 0 , v = 1 se z = sen ⁡ x y + x sen ⁡ y , x = u 2 + v 2 , y = u v .