Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9.

15. lim x → 3 ⁡ 1 + 1 3 x = 2

Passo 1

Fala aí, galerinha! 👀

Nesse problema temos que demonstrar que lim x → 3 ⁡ 1 + 1 3 x = 2 usando as definições ε e δ .

Lembra como fazemos isso? 😉

A definição precisa de limite nos diz que seja uma função f definida em algum intervalo aberto que contenha um número a , temos

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo ε > 0 houver um número δ > 0 de modo que

0 < x - a < δ

Então, temos

f x - L <   ε

Bora começar! 😁

Passo 2

Dado que ε > 0 , nós precisamos achar δ > 0 , tal que se:

0 < x - 3 < δ

Então temos que:

1 + 1 3 x - 2 < ε

Vamos agora simplificar isso:

1 + 1 3 x - 2 < ε  

1 3 x - 1 < ε

x - 3 < 3 ε

O que nos mostra que se:

0 < x - 3 < δ

Então:

x - 3 < 3 ε

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Isso nos dá que se nós escolhemos δ = 3 ε , e substituirmos seu valor, temos que

0 < x - 3 < δ → x - 3 < 3 ε

1 3 x - 3 < ε

1 3 x - 1 < ε

1 + 1 3 x - 2 < ε

Portanto, temos o limite

lim x → 3 ⁡ 1 + 1 3 x = 2

pelo limite da definição.

Passo 4

Aqui temos o diagrama:

E aí! o que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

lim x → 3 ⁡ 1 + 1 3 x = 2

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Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade esquerda de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = x 2 ; 1,4
Use a Definição 5.4.3 tomando como x k * como o ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = 6 - x ;1,5
Divida o intervalo em n = 4 subintervalos de igual tamanho, e netão calcule ∑ k = 1 4 f x k *∇ x Tomando x k * com (a) extremidade esquerda de cada subintervalo, (b) o ponto médio de cada subintervalo
Divida o intervalo em n = 4 subintervalos de igual tamanho, e netão calcule ∑ k = 1 4 f x k *∇ x Tomando x k * com (a) extremidade esquerda de cada subintervalo, (b) o ponto médio de cada subintervalo
Divida o intervalo em n = 4 subintervalos de igual tamanho, e netão calcule ∑ k = 1 4 f x k *∇ x Tomando x k * com (a) extremidade esquerda de cada subintervalo, (b) o ponto médio de cada subintervalo