Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite.

lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2

Passo 1

Olá, querido amigo. Estarei te ajudando nessa atividade.

Aqui a gente vai utilizar a definição formal do limite para provarmos que:

lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2

A definição formal do limite diz que:

Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número a , exceto possivelmente no próprio a . Então dizemos que o limite de f ( x ) quando x tende a a é L , e escrevemos

lim x → a ⁡ L

Se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se:

0 < x - a < δ

Então:

f x - L < ε

Então o que a gente vai fazer é encontrar um valor para δ em função de ε , para que o limite exista. Basicamente podemos dizer que: Eu posso tornar x tão próximo de a quanto queira, e isso torna f ( x ) tão próximo de L , a uma distância ε , e ε e δ estão relacionados entre sim.

É encontrando essa relação e realizando manipulações matemáticas que iremos conseguir resolver.

Passo 2

Vamos comparar então o nosso limite como da definição.

Dado que ε > 0 , nós precisamos achar δ > 0 , tal que se:

0 < x - 6 < δ

Então:

x 4 + 3 - 9 2 < ε

Veja que até aqui só substituímos os valores em comparação com a definição. Onde a = 6 e L = 9 2 .

Vamos agora simplificar isso, para que possamos provar o limite:

x 4 + 3 - 9 2 < ε  

x 4 + 3 - 9 2 < ε

Realizando o m m c :

x 4 + 6 - 9 2 < ε

x 4 + - 3 2 < ε

Agora iremos retirar 1 4 do modulo por ser constante e para termos o termo | x - 6 | :

1 4 x - 6 < ε

x - 6 < 4 ε

O que nos mostra que se:

0 < x - 6 < δ

Então:

x - 6 < 4 ε

Passo 3

Isso nos dá que se nós escolhemos δ = 4 ε , e substituirmos seu valor, temos que

0 < x - 6 < δ

Substituindo o delta escolhido.

x - 6 < 4 ε

Realizando a divisão:

x - 6 4 < ε

Colocando o 1 4 dentro do modulo:

x 4 - 6 4 < ε

Realizando as manipulações necessárias:

x 4 + 3 - 9 2 < ε

Então partimos de um pressuposto, encontramos um valor para δ e a partir disso conseguimos voltar para o pressuposto inicial.

Portanto, temos o limite

lim x → 6 ⁡ x 4 + 3 = 9 2

Resposta

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Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,aeL , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ0 para o ϵ dado, tal que se 0x - aδ então f x - Lϵ
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