Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .

15) lim x → 0 ⁡ ( x 2 + 3 x - 4 ) = - 4 ,     ϵ = 0,0 3

Passo 1

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor de x - a , δ , positivo capaz de permitir que f x - L seja menor que ϵ , usando aqui somente os valores de f ( x ) e x . Na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = x 2 + 3 x - 4

a = 0

L = - 4

Sendo assim:

0 < x < δ

f x + 4 < 0,0 3

Agora podemos resolver as letras a e b.

Passo 2

Para resolver a letra a precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x + 4 | = 0,0 3

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 + 4 = - 0,0 3

f x 2 + 4 = 0,0 3

Resolvendo:

f x 1 = - 4,0 3

f x 2 = - 3,9 7

Sendo assim, precisamos de x 1 e x 2 :

f x 1 = x 1 ² + 3 x 1 - 4 = - 4,0 3

x 1 ' = - 0 , 0 1       o u         x 1 ' ' = - 2,9 89

f x 2 = x 2 ² + 3 x 2 - 4 = - 3,9 7

x 2 ' = 0,0 1       o u         x 2 ' ' = - 3,0095

Como o valor de a tende a 0:

x 1 = - 0,0 1    

x 2 = 0,0 1  

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação:

x = δ

Para x 1 :

- 0,01 = 0,01

Para x 2 :

0,01 = 0,01

Então:

δ = 0,01

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, dada a desigualdade:

f x + 4 < 0,0 3

E sabendo que:

f x = x 2 + 3 x - 4

Podemos substituir:

x 2 + 3 x - 4 + 4 < 0,0 3

x ² + 3 x < 0,0 3

( x ) ( x + 3 ) < 0,0 3

Pela definição de módulo:

x | | ( x + 3 ) < 0,0 3

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x < δ

Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo ( x + 3 ) .   Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição δ , sendo assim podemos assumir que δ = 1 :

x < 1

Removendo o módulo:

- 1 < x < 1

A partir desta desigualdade podemos chegar a ( x + 3 ) somando 3 aos seus termos:

2 < x + 3 < 4

Então:

| x + 3 | < 4

Sendo assim,

x | | ( x + 3 ) = x . 4 < 0,0 3

x < 3 4 00

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 3 400 .

Para equações não lineares é comum que o valor obtido para o δ pela desigualdade seja menor do que os obtidos diretamente.

Resposta

  1. δ = 0,0 1
  2. δ = 3 400
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Encontre os limites.22. lim y → 6 - ⁡ y + 6 y 2 - 36
Encontre os limites.18. lim x → 2 + ⁡ x x 2 - 4
Seja g t = t - 2 ,t0 t 2 ,0 ≤ t ≤ 2 2 t , t2 , encontre:(a) lim t → 0 ⁡ g ( t ) (b) lim t → 1 ⁡ g ( t ) (c) lim t → 2 ⁡ g ( t ) .
Seja f x = x - 1 ,x ≤ 3 3 x - 7 ,x3 , encontre:(a) lim x → 3 - ⁡ f ( x ) (b) lim x → 3 + ⁡ f ( x ) (c) lim x → 3 ⁡ f ( x ) .
(a) Explique por que o argumento a seguir não está correto. l i m x → 0 + 1 x - 2 x 2 + 2 x = l i m x → 0 + 1 x 1 - 2 x + 2 = ∞ ∙ 0 = 0 (b) Mostre que l i m x → 0 + 1 x - 2 x 2 + 2 x = 1 2 .