Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x → 0 ⁡ x 2 = 0

Passo 1

Opa, bora lá! Devemos calcular o limite pela definição de:

lim x → 0 ⁡ x 2 = 0

A definição precisa de limite diz que:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Se “Para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que se 0 < x - a < δ , então f x - L < ϵ

Vamos tentar simplificar um pouco essa definição complicada!!! O que devemos fazer é achar um δ em função ϵ tal que a afirmação 0 < x - a < δ implique na afirmação f x - L < ϵ .

Passo 2

Neste passo vamos conjecturar um valor para δ como se estivéssemos fazendo um esboço.

Seja ϵ > 0 um número dado, devemos achar δ > 0 tal que:

se 0 < x - a < δ então f ( x ) - L < ϵ

Como neste caso L = 0 , a = 0 e f x = x 2 , devemos achar δ tal que:

se 0 < x - 0 < δ então x 2 - 0 < ϵ

Assim, devemos achar δ > 0 tal que:

se 0 < x < δ então x 2 < ϵ

Devemos agora procurar uma rela��ão para δ que satisfaça o exposto acima. Notemos que se x < δ , então segue que x 2 = x 2 < δ 2 . Assim, se tomarmos δ 2 = ϵ , a relação é satisfeita. Desta forma, vamos escolher δ = ϵ . No próximo passo provaremos que essa escolha é suficiente para demonstramos o limite.

Passo 3

Se tomarmos δ = ϵ , temos que se 0 < x - 0 < δ = ϵ , então x 2 < ϵ 2 = ϵ . Provamos assim que o limite existe e vale 0 .

Resposta

Demonstração.

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