Enunciado

Nos exercícios de 1 a 14, ache o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

4 )   lim x → 3 ⁡ 2 x ² - 4 x + 5

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando x está se aproximando de 3, demonstrando os teoremas necessários para alcançá-lo.

Sabendo que:

f x = 2 x ² - 4 x + 5

O próximo passo é escolher o teorema a ser utilizado.

Passo 2

Podemos resolver o limite usando o Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

Sendo assim:

lim x → 3 ⁡ 2 x ² - 4 x + 5 = lim x → 3 ⁡ 2 x ² - lim x → 3 ⁡ 4 x - 5

Para resolver lim x → 3 ⁡ 2 x ² podemos usar o Teorema de Limite 6:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x . g ( x ) = L . M

E obtemos:

lim x → 3 ⁡ 2 x ² = lim x → 3 ⁡ 2 . lim x → 3 ⁡ x ²

De acordo com o Teorema 2:

lim x → 3 ⁡ 2 = 2

Para lim x → 3 ⁡ x ² usamos o Teorema 8:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = a ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x n = a n  

Então:

lim x → 3 ⁡ x = 3   →     lim x → 3 ⁡ x ² = 9

lim x → 3 ⁡ 2 x ² = lim x → 3 ⁡ 2 . lim x → 3 ⁡ x ² = 2.9 = 18

Para resolver lim x → 3 ⁡ 4 x - 5 podemos usar o Teorema de Limite 1:

lim x → a ⁡ m x - b = m a - b

Então:

lim x → 3 ⁡ 4 x - 5 = 4 . 3 - 5 = 7

Finalizando:

lim x → 3 ⁡ x ² - lim x → 3 ⁡ 4 x - 5 = 18 - 7 = 11

Resposta

lim x → 3 ⁡ 2 x ² - 4 x + 5 = 11

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