Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9.

lim x → - 2 ⁡ 3 x + 5 = - 1

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui iremos utilizar da definição de limites para resolver essa atividade.

A definição diz que:

lim x → a ⁡ f x = L

Quando para todo número ε > 0 , existe um número δ > 0 tal que: se 0 < x - a < δ então f x - L < ε .

Passo 2

Dado que ε > 0 , nós precisamos achar δ > 0 , tal que se:

0 < x + 2 < δ

Então temos que:

3 x + 5 - ( - 1 ) < ε

Passo 3

Vamos agora simplificar isso:

3 x + 5 - - 1 < ε  

- 3 x + 2 < ε

x + 2 < ε 3

O que nos mostra que se:

0 < x + 2 < δ

Então:

x + 2 < ε 3

Passo 4

Isso nos dá que se nós escolhermos δ = ε 3 , e substituirmos seu valor, temos que

0 < x + 2 < δ

x + 2 < ε 3

3 x + 2 < ε

3 x + 5 < ε

3 x + 5 - ( - 1 ) < ε

Portanto, temos o limite

lim x → 4 ⁡ 3 x + 5 = - 1

pelo limite da definição.

Passo 5

Aqui temos o diagrama:

Resposta

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Calcule e justifique: lim x → - 9 ⁡ 50