Enunciado

Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

g) f x = 2 x

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta f ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta f ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

f x = 2 x

f ' x = 2 x . ln ⁡ 2 = 0,693.2 x

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando f ' x > 0 e quando f ' x < 0 . Como a nossa função é exponencial, independente do valor de x o resultado SEMPRE será positivo, galera! Dessa forma, conseguimos concluir que a nossa função nunca será decrescente, uma vez que y nunca admitirá um valor negativo. Em outras palavras:

Intervalos crescentes: - ∞ ,   + ∞ ;

Intervalos decrescentes: Não existem.

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

E se observarmos o gráfico, notaremos que, de fato, o nosso resultado é satisfatório! Trançando uma reta tangente em qualquer ponto da curva teremos uma reta crescente.

E está aí nosso resultado e análise, galera! 😉

Resposta

Intervalos crescentes: - ∞ ,   + ∞ ;

Intervalos decrescentes: Não existem.

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